【題目】為了治療某種疾病,研制了甲、乙兩種新藥,希望知道哪種新藥更有效,為此進(jìn)行動(dòng)物試驗(yàn).試驗(yàn)方案如下:每一輪選取兩只白鼠對(duì)藥效進(jìn)行對(duì)比試驗(yàn).對(duì)于兩只白鼠,隨機(jī)選一只施以甲藥,另一只施以乙藥.一輪的治療結(jié)果得出后,再安排下一輪試驗(yàn).當(dāng)其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時(shí),就停止試驗(yàn),并認(rèn)為治愈只數(shù)多的藥更有效.為了方便描述問題,約定:對(duì)于每輪試驗(yàn),若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1分,乙藥得分;若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1分,甲藥得分;若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0分.甲、乙兩種藥的治愈率分別記為α和β,一輪試驗(yàn)中甲藥的得分記為X.
(1)求的分布列;
(2)若甲藥、乙藥在試驗(yàn)開始時(shí)都賦予4分,表示“甲藥的累計(jì)得分為時(shí),最終認(rèn)為甲藥比乙藥更有效”的概率,則,,,其中,,.假設(shè),.
(i)證明:為等比數(shù)列;
(ii)求,并根據(jù)的值解釋這種試驗(yàn)方案的合理性.
【答案】(1)見解析;(2)(i)見解析;(ii).
【解析】
(1)首先確定所有可能的取值,再來(lái)計(jì)算出每個(gè)取值對(duì)應(yīng)的概率,從而可得分布列;(2)(i)求解出的取值,可得,從而整理出符合等比數(shù)列定義的形式,問題得證;(ii)列出證得的等比數(shù)列的通項(xiàng)公式,采用累加的方式,結(jié)合和的值可求得;再次利用累加法可求出.
(1)由題意可知所有可能的取值為:,,
;;
則的分布列如下:
(2),
,,
(i)
即
整理可得:
是以為首項(xiàng),為公比的等比數(shù)列
(ii)由(i)知:
,,……,
作和可得:
表示最終認(rèn)為甲藥更有效的.由計(jì)算結(jié)果可以看出,在甲藥治愈率為0.5,乙藥治愈率為0.8時(shí),認(rèn)為甲藥更有效的概率為,此時(shí)得出錯(cuò)誤結(jié)論的概率非常小,說(shuō)明這種實(shí)驗(yàn)方案合理.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,四棱錐P-ABCD中,側(cè)面PAD是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形且垂直于底, 是的中點(diǎn)。
(1)證明:直線平面;
(2)點(diǎn)在棱上,且直線與底面所成角為,求二面角的余弦值。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】《中華人民共和國(guó)道路交通安全法》第47條的相關(guān)規(guī)定:機(jī)動(dòng)車行經(jīng)人行道時(shí),應(yīng)當(dāng)減速慢行;遇行人正在通過人行道,應(yīng)當(dāng)停車讓行,俗稱“禮讓斑馬線”, 《中華人民共和國(guó)道路交通安全法》第90條規(guī)定:對(duì)不禮讓行人的駕駛員處以扣3分,罰款50元的處罰.下表是某市一主干路口監(jiān)控設(shè)備所抓拍的5個(gè)月內(nèi)駕駛員“禮讓斑馬線”行為統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù):
月份 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
違章駕駛員人數(shù) | 120 | 105 | 100 | 90 | 85 |
(1)請(qǐng)利用所給數(shù)據(jù)求違章人數(shù)與月份之間的回歸直線方程;
(2)預(yù)測(cè)該路口9月份的不“禮讓斑馬線”違章駕駛員人數(shù).
參考公式: , .
參考數(shù)據(jù): .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在多面體中,四邊形是菱形,⊥平面且.
(1)求證:平面⊥平面;
(2)若設(shè)與平面所成夾角為,且,求二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,動(dòng)點(diǎn)分別與兩個(gè)定點(diǎn),的連線的斜率之積為.
(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程;
(2)設(shè)過點(diǎn)的直線與軌跡交于,兩點(diǎn),判斷直線與以線段為直徑的圓的位置關(guān)系,并說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】
11分制乒乓球比賽,每贏一球得1分,當(dāng)某局打成10:10平后,每球交換發(fā)球權(quán),先多得2分的一方獲勝,該局比賽結(jié)束.甲、乙兩位同學(xué)進(jìn)行單打比賽,假設(shè)甲發(fā)球時(shí)甲得分的概率為0.5,乙發(fā)球時(shí)甲得分的概率為0.4,各球的結(jié)果相互獨(dú)立.在某局雙方10:10平后,甲先發(fā)球,兩人又打了X個(gè)球該局比賽結(jié)束.
(1)求P(X=2);
(2)求事件“X=4且甲獲勝”的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】中國(guó)有悠久的金石文化,印信是金石文化的代表之一.印信的形狀多為長(zhǎng)方體、正方體或圓柱體,但南北朝時(shí)期的官員獨(dú)孤信的印信形狀是“半正多面體”(圖1).半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體.半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美.圖2是一個(gè)棱數(shù)為48的半正多面體,它的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)正方體的表面上,且此正方體的棱長(zhǎng)為1.則該半正多面體共有________個(gè)面,其棱長(zhǎng)為_________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在如圖所示的幾何體中,四邊形是等腰梯形,,.在梯形中,,且,,平面.
(Ⅰ)求證:.
(II)求四棱錐與三棱錐體積的比值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為了解甲、乙兩種離子在小鼠體內(nèi)的殘留程度,進(jìn)行如下試驗(yàn):將200只小鼠隨機(jī)分成兩組,每組100只,其中組小鼠給服甲離子溶液,組小鼠給服乙離子溶液.每只小鼠給服的溶液體積相同、摩爾濃度相同.經(jīng)過一段時(shí)間后用某種科學(xué)方法測(cè)算出殘留在小鼠體內(nèi)離子的百分比.根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)分別得到如下直方圖:
記為事件:“乙離子殘留在體內(nèi)的百分比不低于”,根據(jù)直方圖得到的估計(jì)值為.
(1)求乙離子殘留百分比直方圖中的值;
(2)分別估計(jì)甲、乙離子殘留百分比的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表).
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