Question

9．在△ABC中，已知sinA+sinBcosC=0，則tanA的最大值為$\frac{\sqrt{2}}{4}$．

Answer 1

分析 由sinA+sinBcosC=0，利用三角形內(nèi)角和定理與誘導公式可得：sin（B+C）=-sinBcosC，展開化為：2sinBcosC=-cosBsinC，因此2tanB=-tanC，由tanA=-tan（B+C）展開代入利用基本不等式的性質(zhì)即可得出答案．

解答 解：由sinA+sinBcosC=0，
得$\frac{sinA}{sinB}=-cosC＞0$，
∴C為鈍角，A，B為銳角且sinA=-sinBcosC．
又sinA=sin（B+C），
∴sin（B+C）=-sinBcosC，
即sinBcosC+cosBsinC=-sinBcosC，
∴2sinBcosC=-cosBsinC
∴2tanB=-tanC
∴tanA=-tan（B+C）
=$\frac{-（tanB+tanC）}{1-tanBtanC}$=$\frac{tanB}{1+2ta{n}^{2}B}$
=$\frac{1}{2tanB+\frac{1}{tanB}}$，
∵tanB＞0，根據(jù)均值定理，$2tanB+\frac{1}{tanB}≥2\sqrt{2tanB•\frac{1}{tanB}}=2\sqrt{2}$，
∴$\frac{1}{2tanB+\frac{1}{tanB}}≤\frac{\sqrt{2}}{4}$，當且僅當$tanB=\frac{\sqrt{2}}{2}$時取等號．
∴tanA的最大值為$\frac{\sqrt{2}}{4}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{2}}{4}$．

點評 本題考查了三角形內(nèi)角和定理、誘導公式、和差公式、基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．