Question

16．如圖，平行四邊形ABCD中，BC=2AB=4，∠ABC=60°，PA⊥平面ABCD，PA=2，E，F(xiàn)分別為BC，PE的中點(diǎn)．
（1）求證：AF⊥平面PED；
（2）求點(diǎn)C到平面PED的距離．

Answer 1

分析 （1）連接AE，推導(dǎo)出AE⊥ED，PA⊥ED，從而ED⊥平面PAE，進(jìn)而ED⊥AF，再求出AF⊥PE，由此能證明AF⊥平面PED．
（2）設(shè)點(diǎn)C到平面PED的距離為d，由V_C-PED=V_P-ECD，能求出點(diǎn)C到平面PED的距離．

解答 證明：（1）連接AE，在平行四邊形ABCD中，
BC=2AB=4，∠ABC=60°，
∴AE=2，$ED=2\sqrt{3}$，從而有AE²+ED²=AD²，
∴AE⊥ED．
∵PA⊥平面ABCD，ED?平面ABCD，∴PA⊥ED，
又∵PA∩AE=A，∴ED⊥平面PAE，AF?平面PAE
從而有ED⊥AF．
又∵PA=AE=2，F(xiàn)為PE的中點(diǎn)，
∴AF⊥PE，又∵PE∩ED=E，
∴AF⊥平面PED．
解：（2）設(shè)點(diǎn)C到平面PED的距離為d，
在Rt△PED中，$PE=2\sqrt{2}$，$ED=2\sqrt{3}$，∴${S_{△PED}}=2\sqrt{6}$．
在△ECD中，EC=CD=2，∠ECD=120°，∴${S_{△ECD}}=\sqrt{3}$．
由V_C-PED=V_P-ECD得，$\frac{1}{3}{S_{△PED}}•d=\frac{1}{3}{S_{△ECD}}•PA$，
∴$d=\frac{{{S_{△ECD}}•PA}}{{{S_{△PED}}}}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．
所以點(diǎn)C到平面PED的距離為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線(xiàn)面垂直的證明，考查點(diǎn)到平面的距離的求法，考查空間中線(xiàn)線(xiàn)、線(xiàn)面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力、空間想象能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．