Question

【題目】在四棱錐中，底面是矩形， 平面， 是等腰三角形， ， 是的一個(gè)三等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)），與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，連接.

（Ⅰ）求證：平面平面；

（Ⅱ）求二面角的正切值

Answer 1

【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2) .

【解析】試題分析：（I）由線面垂直的性質(zhì)可得 ，由矩形的性質(zhì)可得，從而由線面垂直的判定定理可得平面，進(jìn)而由面面垂直的判定定理可得結(jié)論；（II）以， ， 分別為， ， 軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面與平面的一個(gè)法向量，根據(jù)空間向量夾角余弦公式，可得夾角余弦值，利用同角三角函數(shù)之間的關(guān)系可得正切值.

試題解析：（Ⅰ）證明：因?yàn)?/span>平面，所以

又因?yàn)榈酌?/span>是矩形，所以

又因?yàn)?/span>，所以平面.

又因?yàn)?/span>平面，所以平面平面.

（Ⅱ)解：方法一：（幾何法)過(guò)點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，連接.

不妨設(shè)，則.

因?yàn)?/span>平面，所以.

又因?yàn)榈酌?/span>是矩形，所以.

又因?yàn)?/span>，所以平面，所以A .

又因?yàn)?/span>，所以平面，所以

所以就是二面角的平面角.

在中，由勾股定理得，

由等面積法，得，

又由平行線分線段成比例定理，得.

所以.所以.

所以.

所以二面角的正切值為.

方法二：（向量法）以， ， 分別為， ， 軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系：

不妨設(shè)，則由（Ⅱ）可得， .

又由平行線分線段成比例定理，得，

所以，所以.

所以點(diǎn)， ， .

則， .

設(shè)平面的法向量為，則

由得得

令，得平面的一個(gè)法向量為；

又易知平面的一個(gè)法向量為；

設(shè)二面角的大小為，則.

所以.所以二面角的正切值為.

【方法點(diǎn)晴】本題主要考查線面垂直的判定定理及面面垂直的判定定理、利用空間向量求二面角，屬于難題.空間向量解答立體幾何問(wèn)題的一般步驟是：（1）觀察圖形，建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；（2）寫(xiě)出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出相應(yīng)直線的方向向量；（3）設(shè)出相應(yīng)平面的法向量，利用兩直線垂直數(shù)量積為零列出方程組求出法向量；（4）將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系；（5）根據(jù)定理結(jié)論求出相應(yīng)的角和距離.