Question

【題目】已知函數(shù).

（I）若曲線存在斜率為-1的切線，求實數(shù)a的取值范圍；

（II）求的單調(diào)區(qū)間；

（III）設(shè)函數(shù)，求證：當時， 在上存在極小值.

Answer 1

【答案】(Ⅰ) .(Ⅱ)答案見解析；(Ⅲ)證明見解析.

【解析】試題分析：(Ⅰ)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為存在大于0的實數(shù)根，根據(jù)在時遞增，求出的范圍即可；(Ⅱ)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論的范圍，判斷導(dǎo)函數(shù)的符號，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；(Ⅲ)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)，得到存在滿足，從而得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出函數(shù)的極小值，證出結(jié)論即可.

試題解析：（I）由得.

由已知曲線存在斜率為-1的切線，所以存在大于零的實數(shù)根，

即存在大于零的實數(shù)根，因為在時單調(diào)遞增，

所以實數(shù)a的取值范圍.

（II）由可得

當時， ，所以函數(shù)的增區(qū)間為；

當時，若， ，若， ，

所以此時函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為.

（III）由及題設(shè)得，

由可得，由（II）可知函數(shù)在上遞增，

所以，取，顯然，

，所以存在滿足，即存在滿足，所以， 在區(qū)間（1，+∞）上的情況如下：

－ 0 +

↘ 極小 ↗

所以當-1<a<0時，g（x）在（1，+∞）上存在極小值.

（本題所取的特殊值不唯一，注意到），因此只需要即可)