Question

3．已知△ABC的三個內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足$a=\sqrt{21}$，3b-2c=7，A=60°．
（1）求b的值；
（2）若AD平分∠BAC交BC于點D，求線段AD的長．

Answer 1

分析 （1）利用余弦定理、方程組的解法即可得出．
（2）利用三角形面積計算公式即可得出．

解答 解：（1）由余弦定理得a²=b²+c²-2bccosA，
即21=b²+c²-bc，聯(lián)立3b-2c=7，
解得b=5，c=4．
（2）${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}•AC•ABsinA=\frac{1}{2}×5×4×\frac{{\sqrt{3}}}{2}=5\sqrt{3}$，${S_{△ABD}}=\frac{1}{2}•AB•ADsin∠BAD=\frac{1}{2}×4×AD×\frac{1}{2}=AD$，${S_{△ACD}}=\frac{1}{2}•AC•ADsin∠CAD=\frac{1}{2}×5×AD×\frac{1}{2}=\frac{5}{4}AD$，
由S_△ABC=S_△ABD+S_△ACD，得$5\sqrt{3}=AD+\frac{5}{4}AD$，
∴$AD=\frac{20}{9}\sqrt{3}$．

點評 本題考查了余弦定理的應用、三角形面積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．