Question

19．在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側棱與底面垂直，AB=AA₁=2，∠ABC=60°，BC=4，點M，N分別為A₁B 和B₁C₁的中點．
（1）證明：MN∥平面A₁ACC₁
（2）證明：A₁M⊥平面MAC．

Answer 1

分析 （1）取A₁B₁的中點D，連結MD、ND，推導出DM∥AA₁，DN∥A₁C₁，從而平面DMN∥平面A₁ACC₁，由此能證明MN∥平面A₁ACC₁．
（2）推導出AM⊥A₁B，由余弦定理得AC=2$\sqrt{3}$，從而${A}_{1}C=\sqrt{A{{A}_{1}}^{2}+A{C}^{2}}$=4，進而CM⊥A₁B，由此能證明A₁M⊥平面MAC．

解答 證明：（1）取A₁B₁的中點D，連結MD、ND，
∵在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側棱與底面垂直，點M，N分別為A₁B 和B₁C₁的中點，
∴DM∥AA₁，DN∥A₁C₁，
∵DM∩DN=D，AA₁∩A₁C₁=A₁，
DM，DN?平面DMN，AA₁，A₁C₁?平面A₁ACC₁，
∴平面DMN∥平面A₁ACC₁，
∵MN?平面DMN，∴MN∥平面A₁ACC₁．
（2）∵側棱與底面垂直，AB=AA₁=2，∠ABC=60°，BC=4，
點M，N分別為A₁B 和B₁C₁的中點，
∴AM⊥A₁B，AC=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}-2×2×4×cos60°}$=2$\sqrt{3}$，
${A}_{1}C=\sqrt{A{{A}_{1}}^{2}+A{C}^{2}}$=$\sqrt{4+12}$=4，∴CM⊥A₁B，
∵AM∩CM=M，∴A₁M⊥平面MAC．

點評 本題考查線面平行的證明，考查線面垂直的證明，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想，是中檔題．