【題目】如圖,三角形ABC為直角三角形,且,,E,F分別為AB,AC的中點,G,H分別為BE,AF的中點(如圖一),現(xiàn)在沿EF將三角形AEF折起至,連接,,GH(如圖二).
(1)證明:平面;
(2)當(dāng)平面平面EFCB時,求異面直線GH與EF所成角的余弦值.
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【題目】已知拋物線方程,為焦點,為拋物線準(zhǔn)線上一點,為線段與拋物線的交點,定義:.
(1)當(dāng)時,求;
(2)證明:存在常數(shù),使得.
(3)為拋物線準(zhǔn)線上三點,且,判斷與的關(guān)系.
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【題目】已知正方形和矩形所在的平面互相垂直,,點在線段上.
(Ⅰ)若為的中點,求證:平面;
(Ⅱ)求二面角的余弦值;
(Ⅲ)證明:存在點,使得平面,并求的值.
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【題目】已知,數(shù)列A:,,…中的項均為不大于的正整數(shù).表示,,…中的個數(shù)().定義變換,將數(shù)列變成數(shù)列:,,…其中.
(1)若,對數(shù)列:,寫出的值;
(2)已知對任意的(),存在中的項,使得.求證: ()的充分必要條件為();
(3)若,對于數(shù)列:,,…,令:,求證:().
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【題目】已知橢圓Γ:+=1(a>b>0)的長軸長為4,離心率為.
(1)求橢圓Γ的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)過P(1,0)作動直線AB交橢圓Γ于A,B兩點,Q(4,3)為平面上一定點連接QA,QB,設(shè)直線QA,QB的斜率分別為k1,k2,問k1+k2是否為定值,如果是,則求出該定值;否則,說明理由.
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【題目】己知函數(shù)的零點構(gòu)成一個公差為的等差數(shù)列,把函數(shù)的圖像沿軸向左平移個單位,得到函數(shù)的圖像,關(guān)于函數(shù),下列說法正確的是( 。
A. 在上是增函數(shù)
B. 其圖像關(guān)于對稱
C. 函數(shù)是奇函數(shù)
D. 在區(qū)間上的值域為[-2,1]
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【題目】(本小題滿分12分) 一個社會調(diào)查機構(gòu)就某社區(qū)居民的月收入調(diào)查了10 000人,并根據(jù)所得數(shù)據(jù)畫了樣本的頻率分布直方圖(如圖).
(1)為了分析居民的收入與年齡、學(xué)歷、職業(yè)等方面的關(guān)系,要從這10 000人中再用分層抽樣方法抽出100人作進一步調(diào)查,求月收入在(元)段應(yīng)抽出的人數(shù);
(2)為了估計該社區(qū)3個居民中恰有2個月收入在(元)的概率,采用隨機模擬的方法:先由計算器產(chǎn)生0到9之間取整數(shù)值的隨機數(shù),我們用0,1,2,3,4表示收入在(元)的居民,剩余的數(shù)字表示月收入不在(元)的居民;再以每三個隨機數(shù)為一組,代表統(tǒng)計的結(jié)果,經(jīng)隨機模擬產(chǎn)生了20組隨機數(shù)如下:
907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989
據(jù)此估計,計算該社區(qū)3個居民中恰好有2個月收入在(元)的概率.
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【題目】已知直線,點,點是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的動點,且點到直線的距離是點到點的距離的2倍.記動點的軌跡為曲線.
(1)求曲線的方程;
(2)過點的直線與曲線交于、兩點,若(是坐標(biāo)系原點)的面積為,求直線的方程;
(3)若(2)中過點的直線是傾斜角不為0的任意直線,仍記與曲線的交點為、,設(shè)點為線段的中點,直線與直線交于點,求的大小.
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【題目】某超市計劃按月訂購一種酸奶,每天進貨量相同,進貨成本每瓶4元,售價每瓶7元,未售出的酸奶降價處理,以每瓶1.5元的價格當(dāng)天全部處理完.據(jù)往年銷售經(jīng)驗,每天需求量與當(dāng)天最高氣溫(單位:)有關(guān),如果最高氣溫不低于25,需求量為500瓶;如果最高氣溫位于區(qū)間,需求量為300瓶;如果最高氣溫低于20,需求量為200瓶,為了確定六月份的訂購計劃,統(tǒng)計了前三年六月份各天的最高氣溫數(shù)據(jù),得到下面的頻數(shù)分布表:
最高氣溫 | ||||||
天數(shù) | 2 | 14 | 34 | 27 | 9 | 4 |
以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率代替最高氣溫位于該區(qū)間的概率.
(1)求六月份這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率;
(2)設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤為(單位:元),若該超市在六月份每天的進貨量均為450瓶,寫出的所有可能值,并估計大于零的概率.
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