Question

18．如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，PA⊥平面ABCD
（Ⅰ）證明：平面PBD⊥平面PAC
（Ⅱ）設(shè)AP=1，AD=$\sqrt{3}$，∠CBA=60°，求A到平面PBC的距離．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推導(dǎo)出BD⊥AC，BD⊥PA，從而BD⊥平面PAC，由此能證明平面PBD⊥平面PAC．
（Ⅱ）由V_A-PBC=V_P-ABC，能求出A到平面PBC的距離．

解答 證明：（Ⅰ）∵四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，
∴BD⊥AC，
∵PA⊥平面ABCD，∴BD⊥PA，
∵AC∩PA=A，∴BD⊥平面PAC，
∵BD?平面PBD，∴平面PBD⊥平面PAC．
解：（Ⅱ）∵AP=1，AD=$\sqrt{3}$，∠CBA=60°，
∴AC=$\sqrt{3}$，${S}_{△ABC}=\frac{\sqrt{3}}{4}•（\sqrt{3}）^{2}=\frac{3\sqrt{3}}{4}$，
∵PC=PB=$\sqrt{P{A}^{2}+A{C}^{2}}=2$，
∴${S}_{△PBC}=\frac{1}{2}×\sqrt{3}×\sqrt{{2}^{2}-（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{39}}{4}$，
設(shè)A到平面PBC的距離為h，
∵V_A-PBC=V_P-ABC，
∴$\frac{1}{3}×h×\frac{\sqrt{39}}{4}=\frac{1}{3}×\frac{3\sqrt{3}}{4}×1$，
解得h=$\frac{3\sqrt{13}}{13}$．
∴A到平面PBC的距離為$\frac{3\sqrt{13}}{13}$．

點評 本題考查面面垂直的證明，考查點到平面的距離的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．