Question

3．在直角坐標(biāo)系xoy中，直線l過(guò)點(diǎn)M（3，4），其傾斜角為45°，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，以x正半軸為極軸建立極坐標(biāo)，并使得它與直角坐標(biāo)系xoy有相同的長(zhǎng)度單位，圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=4sinθ．
（Ⅰ）求直線l的參數(shù)方程和圓C的普通方程；
（Ⅱ）設(shè)圓C與直線l交于點(diǎn)A、B，求|MA|•|MB|的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）直線l過(guò)點(diǎn)M（3，4），其傾斜角為45°，參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=3+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=4+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$，（t為參數(shù)）．由極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化公式代入化簡(jiǎn)即可得出圓C的普通方程；
（Ⅱ）直線l的參數(shù)方程代入圓方程得${t}^{2}+5\sqrt{2}t$+9=0，利用|MA|•|MB|=|t₁|•|t₂|=|t₁t₂|即可得出．

解答 解：（Ⅰ）直線l過(guò)點(diǎn)M（3，4），其傾斜角為45°，參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=3+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=4+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$，（t為參數(shù)）．
圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=4sinθ，直角坐標(biāo)方程為x²+y²-4y=0；
（Ⅱ）將直線的參數(shù)方程代入圓方程得：${t}^{2}+5\sqrt{2}t$+9=0，
設(shè)A、B對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t₁、t₂，則t₁+t₂=5$\sqrt{2}$，t₁t₂=9，
于是|MA|•|MB|=|t₁|•|t₂|=|t₁t₂|=9．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、直線參數(shù)方程的應(yīng)用，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．