Question

5．已知函數(shù)f（x）=|x-2|+|x+1|．
（I）解不等式f（x）＞6；
（Ⅱ）若f（x）＜|x+1|+|2x+6|+m恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）分類討論，去掉絕對值，即可求不等式f（x）＞6的解集；
（II）由題意得，關(guān)于x的不等式|x-2|-|2x+6|＜m在R恒成立，求出左邊的最大值，即可求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答 解：（ I）x＜-1，不等式轉(zhuǎn)化為-x+2-x-1＞6，解得x＜-2.5，∴x＜-2.5；
-1≤x≤2，不等式轉(zhuǎn)化為-x+2+x+1＞6，無解；
x＞2，不等式轉(zhuǎn)化為x-2+x+1＞6，解得x＞4，∴x＞4；
因此不等式解集為（-∞，-2.5]∪[4，+∞）．
（ II） 由題意得，關(guān)于x的不等式|x-2|-|2x+6|＜m在R恒成立，
|x-2|-|2x+6|=$\left\{\begin{array}{l}{x+8，x＜-3}\\{-3x-4，-3≤x≤2}\\{-x-8，x≥2}\end{array}\right.$，所以|x-2|-|2x+6|≤5，∴m＞5．

點(diǎn)評 本題主要考查絕對值不等式的解法，考查恒成立問題，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．