Question

【題目】已知.

（1）討論的單調(diào)性；

（2）若恒成立，求的值.

Answer 1

【答案】(1)見解析（2）

【解析】試題分析：

（1）的定義域為，求導(dǎo)可得.則考查函數(shù)的單調(diào)性只需考查二次函數(shù)的性質(zhì)可得：

當時， 在上單調(diào)遞增；

當時， 在和上單調(diào)遞增，

在上單調(diào)遞減.

（2）原問題等價于， 恒成立. 構(gòu)造函數(shù)，令，則， ，即在時取得最大值.

.由解得.經(jīng)檢驗可得a=1符合題意.故.

試題解析：

（1）的定義域為， .

∵.

令，則

（a）若，即當時，對任意， 恒成立， 即當時， 恒成立（僅在孤立點處等號成立）.

∴在上單調(diào)遞增.

（b）若，即當或時， 的對稱軸為.

①當時， ，且.

如圖，任意， 恒成立， 即任意時， 恒成立，

∴在上單調(diào)遞增.

②當時， ，且.

如圖，記的兩根為

∴當時， ；

當時， .

∴當時， ，

當時， .

∴在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

綜上，當時， 在上單調(diào)遞增；

當時， 在和上單調(diào)遞增，

在上單調(diào)遞減.

（2）恒成立等價于， 恒成立.

令，則恒成立等價于， .

要滿足式，即在時取得最大值.

∵.

由解得.

當時， ，

∴當時， ；當時， .

∴當時， 在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，從而，符合題意.

所以， .