Question

14．已知橢圓Γ：$\frac{x^2}{a^2}$+y²=1（a＞1）的左焦點為F₁，右頂點為A₁，上頂點為B₁，過F₁，A₁，B₁三點的圓P的圓心坐標(biāo)為（$\frac{{\sqrt{3}-\sqrt{2}}}{2}$，$\frac{{1-\sqrt{6}}}{2}$）．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）若直線l：y=kx+m（k，m為常數(shù)，k≠0）與橢圓Γ交于不同的兩點M和N．
（i）當(dāng)直線l過E（1，0），且$\overrightarrow{EM}$+2$\overrightarrow{EN}$=$\overrightarrow 0$時，求直線l的方程；
（ii）當(dāng)坐標(biāo)原點O到直線l的距離為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$時，求△MON面積的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題可知：圓心P在A₁F₁的中垂線上，則a-c=$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$，由橢圓的性質(zhì)可知：a²-c²=1，即可求得a的值，求得橢圓方程；
（Ⅱ）（i）設(shè)直線l的方程為y=k（x-1），代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理及向量的坐標(biāo)運(yùn)算，即可求得x₁及x₂，由x₁x₂=$\frac{3{k}^{2}-3}{1+3{k}^{2}}$，代入即可求得k的值，求得直線l的方程；
（ii）將直線l的方程代入橢圓方程，由點到直線的距離公式求得m²=$\frac{3}{4}$（k²+1），利用韋達(dá)定理，弦長公式，三角形的面積公式及基本不等式的性質(zhì)，求得△MON面積的最大值．

解答 解：（1）橢圓Γ：$\frac{x^2}{a^2}$+y²=1（a＞1）的左焦點為F₁（-c，0）右頂點為A₁（a，0）上頂點為B₁（0，1），
由題意可知，圓心P在A₁F₁的中垂線上，即$\frac{a-c}{2}$=$\frac{{\sqrt{3}-\sqrt{2}}}{2}$，則a-c=$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$，
由a²-c²=1，及（a+c）（a-c）=1，∴a+c=$\sqrt{3}$+$\sqrt{2}$，
∴a=$\sqrt{3}$，c=$\sqrt{2}$，
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1$；
（Ⅱ）（i）設(shè)直線l的方程為y=k（x-1），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），．
代入橢圓方程，整理得：（1+3k²）x²-6k²x+3k²-3=0，
由韋達(dá)定理可知：x₁+x₂=$\frac{6{k}^{2}}{1+3{k}^{2}}$，①x₁x₂=$\frac{3{k}^{2}-3}{1+3{k}^{2}}$，②
由$\overrightarrow{EM}$=（x₁-1，y₁），$\overrightarrow{EN}$=（x₂-1，y₂）$\overrightarrow 0$，
$\overrightarrow{EM}$+2$\overrightarrow{EN}$=$\overrightarrow 0$時，則（x₁-1，y₁）+2（x₂-1，y₂）=$\overrightarrow{0}$，則x₁+2x₂=3，③，
由①③，解得：x₁=$\frac{3{k}^{2}-3}{1+3{k}^{2}}$，x₂=$\frac{3+3{k}^{2}}{1+3{k}^{2}}$
由②可知：$\frac{3{k}^{2}-3}{1+3{k}^{2}}$=$\frac{3{k}^{2}-3}{1+3{k}^{2}}$×$\frac{3+3{k}^{2}}{1+3{k}^{2}}$，
當(dāng)3k²-3=0時，即k=±1，顯然成立，
當(dāng)3k²-3≠0，1+3k²≠0，則$\frac{3+3{k}^{2}}{1+3{k}^{2}}$=1，顯然不成立，
綜上可知：k=±1，
∴直線l的方程y=x-1或y=-x+1；
（ii）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
由題意，設(shè)直線AB的方程為y=kx+m，
由坐標(biāo)原點O到直線l的距離為$\frac{\sqrt{3}}{2}$可得$\frac{丨m丨}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，化為m²=$\frac{3}{4}$（k²+1）．
把y=kx+m代入橢圓方程，消去y得到（3k²+1）x²+6kmx+3m²-3=0，
∴x₁+x₂=-$\frac{6km}{3{k}^{2}+1}$，x₁x₂=$\frac{3{m}^{2}-3}{3{k}^{2}+1}$．
∴丨MN丨²=（1+k²）[（x₁+x₂）²-4x₁x₂]
=（1+k²）[（-$\frac{6km}{3{k}^{2}+1}$）²-4（$\frac{3{m}^{2}-3}{3{k}^{2}+1}$）]=$\frac{12（{k}^{2}+1）（3{k}^{2}+1-{m}^{2}）}{（3{k}^{2}+1）^{2}}$=$\frac{3（{k}^{2}+1）（9{k}^{2}+1）}{（3{k}^{2}+1）^{2}}$，
=3+$\frac{12{k}^{2}}{9{k}^{4}+6{k}^{2}+1}$，（k≠0），
=3+$\frac{12}{9{k}^{2}+\frac{1}{{k}^{2}}+6}$≤3+$\frac{12}{2\sqrt{9{k}^{2}+\frac{1}{{k}^{2}}}+6}$=4，
當(dāng)且僅當(dāng)9k²=$\frac{1}{{k}^{2}}$時，即k=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$時，等號成立，此時丨MN丨=2，
由△MON面積S=$\frac{1}{2}$×丨MN丨×$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
=$\frac{1}{2}$×2×$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
∴△MON面積的最大值$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．

點評 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理，點到直線的距離公式，向量的坐標(biāo)運(yùn)算及基本不等式的綜合應(yīng)用，考查計算能力，屬于中檔題．