Question

已知y=f（x）是定義在R上的奇函數，且f(

π

2

+x)=f(

π

2

-x)，對于函數y=f（x），給出以下幾個結論：
①y=f（x）是周期函數； 
②x=π 是y=f（x）圖象的一條對稱軸；
③（-π，0）是y=f（x）圖象的一個對稱中心； 
④當x=

π

2

時，y=f（x）一定取得最大值．
其中正確結論的序號是

 

（把你認為正確結論的序號都填上）

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：函數的性質及應用

分析：①利用f(

π

2

+x)=f(

π

2

-x)，及函數f（x）是奇函數，可得f（2π+x）=f（x），即可得出周期；
②由f(

π

2

+x)=f(

π

2

-x)，可知x=

π

2

 是y=f（x）圖象的一條對稱軸；
③利用函數f（x）的奇偶性和周期性可得f（-π）=0．即（-π，0）是y=f（x）圖象的一個對稱中心； 
④當x∈[-

π

2

，

π

2

]時，若函數f（x）單調遞減，則f(

π

2

)取得最小值．

解答： 解：①∵f(

π

2

+x)=f(

π

2

-x)，及函數f（x）是奇函數，
∴f（π+x）=f(

π

2

-x-

π

2

)=f（-x）=-f（x），
∴f（2π+x）=-f（π+x）=f（x）．
∴y=f（x）是周期為2π的函數；
因此正確．
②由f(

π

2

+x)=f(

π

2

-x)，可知x=

π

2

 是y=f（x）圖象的一條對稱軸，因此②不正確；
③∵f（-π）=-f（π），f（-π）=f（-π+2π）=f（π），∴-f（π）=f（π），∴f（π）=0，即f（-π）=0．
∴（-π，0）是y=f（x）圖象的一個對稱中心，因此正確； 
④當x∈[-

π

2

，

π

2

]時，若函數f（x）單調遞減，則f(

π

2

)取得最小值，因此不正確．
綜上可知：只有①③正確．
故答案為：①③．

點評：本題綜合考查了函數的奇偶性、單調性、周期性、對稱性等基礎知識與基本技能方法，屬于中檔題．