Question

12．已知長(zhǎng)方形ABCD如圖1中，AD=$\sqrt{3}$，AB=2，E為AB中點(diǎn)，將△ADE沿DE折起到△PDE，所得四棱錐P-BCDE如圖2所示．

（Ⅰ）若點(diǎn)M為PC中點(diǎn)，求證：BM∥平面PDE；
（Ⅱ）當(dāng)平面PDE⊥平面BCDE時(shí)，求三棱錐E-PCD的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取DP中點(diǎn)F，連結(jié)EF、FM，推導(dǎo)出FEBM是平行四邊形，從而B(niǎo)M∥EF，由此能證明BM∥平面PDE．
（Ⅱ）過(guò)P作PH⊥DE于H，則PH⊥平面EBCD，三棱錐E-PCD的體積V_E-PCD=V_P-DEC，由此能求出結(jié)果．

解答 證明：（Ⅰ）取DP中點(diǎn)F，連結(jié)EF、FM，
∵△PDC中，點(diǎn)F、M分別是DP、PC的中點(diǎn)，
∴FM$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}$DC，又EB$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}$DC，
∴FM$\underset{∥}{=}$EB，∴FEBM是平行四邊形，∴BM∥EF，
又EF?平面PDE，BM?平面PDE，
∴BM∥平面PDE．
解：（Ⅱ）∵平面PDE⊥平面EBCD，且平面PDE∩平面EBCD=DE，
過(guò)P作PH⊥DE于H，∴PH⊥平面EBCD，
在Rt△PDE中，過(guò)P作PH⊥DE于H，∴PH⊥平面EBCD，
在Rt△PDE中，由題意得PH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
在Rt△DEC中，DE=$\sqrt{（\sqrt{3}）^{2}+{{1}^{2}}_{\;}}$=2，且DE=EC=2，
∴${S}_{△DEC}=\frac{1}{2}×2×2×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$，
∴三棱錐E-PCD的體積V_E-PCD=V_P-DEC=$\frac{1}{3}×{S}_{△DEC}×PH$=$\frac{1}{3}×\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面平行的證明，考查幾何體的體積的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．