Question

1．已知函數(shù)f（x）=（x+1）²1n（x+1）-x．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）設(shè)當(dāng)x≥0時，f（x）≥ax²，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）設(shè)h（x）=f（x）-ax²=（x+1）²ln（x+1）-x-ax²（x≥0），通過討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，得到函數(shù)的最值，求出a的具體范圍即可．

解答 解：（1）f'（x）=2（x+1）ln（x+1）+x，
當(dāng)x∈（0，+∞）時，x+1＞1，ln（x+1）＞0，所以f'（x）＞0，
當(dāng)x∈（-1，0]時，0＜x+1≤1，ln（x+1）≤0，所以f'（x）≤0
所以f（x）在區(qū)間（-1，0]上單調(diào)遞減，在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增
（2）設(shè)h（x）=f（x）-ax²=（x+1）²ln（x+1）-x-ax²（x≥0）
則h'（x）=2（x+1）ln（x+1）+x-2ax
設(shè)φ（x）=2（x+1）ln（x+1）+x-2ax（x≥0），
則φ'（x）=2ln（x+1）+3-2a
①當(dāng)3-2a≥0時，即$a≤\frac{3}{2}$時，對一切x≥0，φ'（x）≥0
所以φ（x）在區(qū)間[0，+∞）上單調(diào)遞增，所以φ（x）≥φ（0）=0，即h'（x）≥0，
所以h（x）在區(qū)間[0，+∞）上單調(diào)遞增，所以h（x）≥h（0）=0，符合題意
②當(dāng)3-2a＜0時，即$a＞\frac{3}{2}$時，存在x₀＞0，使得φ'（x₀）=0，
當(dāng)x∈（0，x₀）時，φ'（x）＜0
所以φ（x）在區(qū)間（0，x₀）上單調(diào)遞減，所以當(dāng)x∈（0，x₀）時，φ（x）＜φ（0）=0，
即h'（x）＜0，所以h（x）在區(qū)間（0，x₀）上單調(diào)遞減
故當(dāng)x∈（0，x₀）時，有h（x）＜h（0）=0，與題意矛盾，舍去
綜上可知，實數(shù)a的取值范圍為$（{-∞，\frac{3}{2}}]$．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想，是一道綜合題．