Question

16．已知函數(shù)f（x）=x²-（-1）ⁿ2alnx（n∈Z，a＞0）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的極值；
（Ⅱ）若n=2016，且函數(shù)y=2ax-f（x）有唯一零點x₀，求x₀與a．

Answer 1

分析 （Ⅰ）分類討論，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求函數(shù)f（x）的極值；
（Ⅱ）若函數(shù)y=2ax-f（x）有唯一零點，即g（x）=-x²+2ax+2alnx=0有唯一解，利用g′（x₀）=0，g（x₀）=0，即可求x₀與a．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=x²-（-1）ⁿ2alnx的定義域為（0，+∞），f′（x）=2x-$\frac{（-1）^{n}•2a}{x}$．
n為奇數(shù)，f′（x）=2x+$\frac{2a}{x}$＞0，函數(shù)在（0，+∞）上單調(diào)遞增，無極值；
n為偶數(shù)，f′（x）=2x-$\frac{2a}{x}$=0，x∈（0，$\sqrt{a}$），f′（x）＜0，x∈（$\sqrt{a}$，+∞），f′（x）＞0，
∴函數(shù)f（x）無極大值，有極小值f（$\sqrt{a}$）=a-alna；
（Ⅱ）n=2016，若函數(shù)y=2ax-f（x）有唯一零點，即g（x）=-x²+2ax+2alnx=0有唯一解．
令g′（x）=0，得x²-ax-a=0，
∵a＞0，x＞0，
∴x₀=$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}+4a}}{2}$，
當x∈（0，x₀）時，g′（x）＜0，g（x）在（0，x₀）上是單調(diào)遞減函數(shù)；
當x∈（x₀，+∞）時，g′（x）＞0，g（x）在（x₀，+∞）上是單調(diào)遞增函數(shù)．
∴當x=x₀時，g′（x₀）=0，g（x）_min=g（x₀），
∵g（x）=0有唯一解，∴g（x₀）=0．
即x₀²-ax₀-a=0，-x₀²+2ax₀+2alnx₀=0
∴兩式相加得2alnx₀+ax₀-a=0，
∵a＞0，∴2lnx₀+x₀-1=0①，
設(shè)函數(shù)h（x）=2lnx+x-1，
∵在x＞0時h（x）是增函數(shù)，∴h（x）=0至多有一解．
∵h（1）=0，∴方程①的解為x₀=1，即$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}+4a}}{2}$=1，解得a=$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，極值，考查函數(shù)的零點，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．