【題目】某中學的甲、乙、丙三名同學參加高校自主招生考試,每位同學彼此獨立的從四所高校中選2所.
(Ⅰ)求甲、乙、丙三名同學都選高校的概率;
(Ⅱ)若已知甲同學特別喜歡高校,他必選校,另在三校中再隨機選1所;而同學乙和丙對四所高校沒有偏愛,因此他們每人在四所高校中隨機選2所.
(。┣蠹淄瑢W選高校且乙、丙都未選高校的概率;
(ⅱ)記為甲、乙、丙三名同學中選校的人數,求隨機變量的分布列及數學期望.
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)(。(ⅱ)分布列見解析,期望為.
【解析】
(Ⅰ)先根據古典概型概率求甲同學選高校的概率,同理可得乙、丙同學選高校的概率,最后根據獨立事件概率乘法公式得結果,(Ⅱ)(。┫雀鶕诺涓判透怕是蠹淄瑢W選高校的概率以及乙、丙未選高校的概率,最后根據獨立事件概率乘法公式得結果,(ⅱ)先確定隨機變量的取法,再分別求對應概率,列表得分布列,最后根據數學期望公式得結果.
(Ⅰ)甲從四所高校中選2所,共有AB,AC,AD,BC,BD,CD六種方法,
甲同學都選高校,共有AD,BD,CD三種方法,甲同學選高校的概率為,
因此乙、丙同學選高校的概率皆為,
因為每位同學彼此獨立,所以甲、乙、丙三名同學都選高校的概率為
(Ⅱ)(。┘淄瑢W必選校且選高校的概率為,乙未選高校的概率為,丙未選高校的概率為,因為每位同學彼此獨立,所以甲同學選高校且乙、丙都未選高校的概率,
(ⅱ)
因此,,
,
,
即分布列為
0 | 1 | 2 | 3 | |
P |
因此數學期望為
科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】定義在上的函數,如果滿足:對任意,存在常數,都有成立,則稱是上的有界函數,其中稱為函數的上界.
(1)設,判斷在上是否為有界函數,若是,請說明理由,并寫出的所有上界的集合;若不是,也請說明理由;
(2)若函數在上是以為上界的有界函數,求實數的取值范圍.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,在三棱錐P-ABC中,,平面平面ABC,點D在線段BC上,且,E,F分別為線段PC,AB的中點,點G是PD上的動點.
(1)證明:.
(2)當平面PAC時,求直線PA與平面EFG所成角的正弦值.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,在直角梯形中,,,,直角梯形可以通過直角梯形以直線為軸旋轉得到,且平面平面.
(1)求證:;
(2)設、分別為、的中點,為線段上的點(不與點重合).
(i)若平面平面,求的長;
(ii)線段上是否存在,使得直線平面,若存在求的長,若不存在說明理由.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的焦點在x軸上,一個頂點為,離心率為,過橢圓的右焦點F的直線l與坐標軸不垂直,且交橢圓于A,B兩點.
求橢圓的方程;
設點C是點A關于x軸的對稱點,在x軸上是否存在一個定點N,使得C,B,N三點共線?若存在,求出定點的坐標;若不存在,說明理由;
設,是線段為坐標原點上的一個動點,且,求m的取值范圍.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,將數字1,2,3,…, ()全部填入一個2行列的表格中,每格填一個數字,第一行填入的數字依次為, ,…, ,第二行填入的數字依次為, ,…, .記.
(Ⅰ)當時,若, , ,寫出的所有可能的取值;
(Ⅱ)給定正整數.試給出, ,…, 的一組取值,使得無論, ,…, 填寫的順序如何, 都只有一個取值,并求出此時的值;
(Ⅲ)求證:對于給定的以及滿足條件的所有填法, 的所有取值的奇偶性相同.
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