Question

12．已知橢圓 C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）與雙曲線 C₂：x²-y²=4 有相同的右焦點F₂，點P是C₁與C₂的一個公共點，若|PF₂|=2，則橢圓 C₁的離心率等于$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．

Answer 1

分析 將雙曲線方程轉化成標準方程，則|PF₂|=2，|PF₁|=6，根據橢圓的定義，即可求得a=4，c=2$\sqrt{2}$，即可求得橢圓 C₁的離心率．

解答 解：由題意，不妨設P在第一象限，雙曲線C₂：x²-y²=4可化為$\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{4}=1$，
∵|PF₁|-|PF₂|=4，則|PF₁|=6，則c=$\sqrt{4+4}$=2$\sqrt{2}$，即c=2$\sqrt{2}$，
由橢圓的定義可知：2a=|PF₂|+|PF₂|=8，
∴a=4．
∵橢圓C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）與雙曲線C₂：x²-y²=4有相同的右焦點F₂，
∴橢圓C₁的離心率為e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
故答案為：$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．

點評 本題考查橢圓與雙曲線的幾何性質，解題的關鍵是正確運用離心率的定義，屬于基礎題．