Question

2．袋中裝有大小相同的3個白球和4個黑球，現(xiàn)從袋中任取3個球，設(shè)ξ為所取出的3個球中白球數(shù)與黑球數(shù)之差的絕對值．
（1）求ξ的分布列及數(shù)學期望；
（2）記“函數(shù)f（x）=x²-3ξx+1在區(qū)間[2，+∞）上單調(diào)遞增”為事件A，求事件A的概率．

Answer 1

分析 （1）變量ξ的可能取值是1，3，結(jié)合變量對應的事件和等可能事件的概率公式，分別求出相應變量值的概率，最后可做出分布列表格；利用期望公式，可求X的數(shù)學期望值；
（2）記“函數(shù)f（x）=x²-3ξx+1在區(qū)間[2，+∞）上單調(diào)遞增”為事件A，找到事件A對應的ξ然后求概率．

解答 解：（1）ξ的可能取值為1，3．
∵P（ξ=1）=$\frac{{C}_{3}^{2}{C}_{4}^{1}+{C}_{3}^{1}{C}_{4}^{2}}{{C}_{7}^{3}}=\frac{6}{7}$；
P（ξ=3）=$\frac{{C}_{3}^{3}+{C}_{4}^{3}}{{C}_{7}^{3}}=\frac{1}{7}$；
∴ξ的分布列為：

ξ	1	3
p	$\frac{6}{7}$	$\frac{1}{7}$

Eξ=1×$\frac{6}{7}$+3×$\frac{1}{7}$=$\frac{9}{7}$．
（2）記“函數(shù)f（x）=x²-3ξx+1在區(qū)間[2，+∞）上單調(diào)遞增”為事件A，則A對應的f'（x）=2x-3ξ≥0在[2，+∞）恒成立，即ξ≤$\frac{4}{3}$，即ξ=1為事件A，其概率為$\frac{6}{7}$．

點評 本題考查離散型隨機變量的分布列和期望，在解題的過程中，注意變量對應的事件，結(jié)合事件和等可能事件的概率公式來求解．