Question

【題目】已知曲線與軸有唯一公共點(diǎn).

（Ⅰ）求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（Ⅱ）曲線在點(diǎn)處的切線斜率為.若兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)，滿足，求證：.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)證明見解析.

【解析】

試題求導(dǎo)得，討論、時(shí)兩種情況，由函數(shù)與軸有唯一公共點(diǎn)，借助零點(diǎn)存在定理和極限求出的取值范圍由（Ⅰ）的結(jié)論，求導(dǎo)結(jié)合題意解得，由，不妨設(shè)，，構(gòu)造即可證明

解析：（Ⅰ）解：函數(shù)的定義域?yàn)?/span>..

由題意，函數(shù)有唯一零點(diǎn)..

（1）若，則.

顯然恒成立，所以在上是增函數(shù).

又，所以符合題意.

（2）若，.；.

所以在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù).

所以 .

由題意，必有（若，則恒成立，無零點(diǎn)，不符合題意）

①若，則.

令，則 .

；.

所以函數(shù)在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù).

所以.所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).

所以，，且.

取正數(shù)，則 ；

取正數(shù)，顯然.而，

令，則.當(dāng)時(shí)，顯然.

所以在上是減函數(shù).

所以，當(dāng)時(shí)， ，所以.

因?yàn)?/span>，所以 .

又在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，

則由零點(diǎn)存在性定理，在、上各有一個(gè)零點(diǎn).

可見，，或不符合題意.

注：時(shí)，若利用，，，說明在、上各有一個(gè)零點(diǎn).

②若，顯然，即.符合題意.

綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為.

（Ⅱ）由題意，.所以，即.

由（Ⅰ）的結(jié)論，得.

，在上是增函數(shù).

；.

由，不妨設(shè)，則.

從而有，即.

所以 .

令，顯然在上是增函數(shù)，且.

所以.

從而由，得.