Question

已知橢圓

x2

2

+y2=1的左焦點為F，O為坐標原點．
（1）設過點F的直線交橢圓于A、B兩點，并且線段AB的中點在直線x+y=0上，求直線AB的方程；
（2）求過點O、F并且與橢圓的左準線l相切的圓的方程．

Answer 1

分析：（1）設直線AB的方程為y=k（x+1），代入

x2

2

+y2=1，整理得（1+2k²）x²+4k²x+2k²-2=0，由直線AB過橢圓的左焦點，知方程有兩個不等實根，由此能求出直線AB的方程．
（2）由a²=2，b²=1，c=1，F（-1，0），l：x=-2，知圓過O、F，圓心M在x=-

1

2

上，由此能求出圓的方程．

解答：解：（1）設直線AB的方程為y=k（x+1），
代入

x2

2

+y2=1
整理得（1+2k²）x²+4k²x+2k²-2=0，
∵直線AB過橢圓的左焦點，
∴方程有兩個不等實根，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
AB中點N（x₀，y₀），
則x1+x2=-

4k2

2k2+1

，
x0=

1

2

(x1+x2)=-

2k2

2k2+1

…（3分）y0=k(x0+1)=

k

2k2+1

，
∵線段AB的中點在直線x+y=0上，
∴x0+y0=-

2k2

2k2+1

+

k

2k2+1

=0，
解得k=0或k=

1

2

…（5分）
當直線AB與x軸垂直時，
線段AB的中點F不在直線x+y=0上
∴直線AB的方程是y=0或x-2y+1=0…（6分）
（2）∵a²=2，b²=1，
∴c=1，F（-1，0），l：x=-2…（9分）
∴圓過O、F∴圓心M在x=-

1

2

上，
設M(-

1

2

，t)
則圓半徑r=|(-

1

2

)-(-2)|=

3

2

，…（11分）
由|OM|=r得

(- 1 2 )2+t2

=

3

2

，
解之得t=±

2

，
故所求圓的方程為(x+

1

2

)2+(y±

2

)2=

9

4

…（12分）

點評：本題主要考查橢圓標準方程，簡單幾何性質，直線與橢圓的位置關系，圓的簡單性質等基礎知識．考查運算求解能力，推理論證能力；考查函數與方程思想，化歸與轉化思想．