Question

5．已知函數(shù)$f（x）=\frac{{2\sqrt{|x|}}}{{{e^{x-1}}}}$，若關(guān)于x的方程f²（x）-mf（x）+m-1=0恰好有3個不相等的實根，則m的取值范圍是（-∞，1）∪{2}．

Answer 1

分析 求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的取值情況，作出f（x）的圖象，設(shè)t=f（x），將方程轉(zhuǎn)化為一元二次方程，解方程，利用根的分布建立條件關(guān)系即可得到結(jié)論．

解答 解：化簡可得f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2\sqrt{x}}{{e}^{x-1}}，x≥0}\\{\frac{2\sqrt{-x}}{{e}^{x-1}}，x＜0}\end{array}\right.$，
當(dāng)x≥0時，f（x）≥0，
f′（x）=$\frac{（2\sqrt{x}）′{e}^{x-1}-2\sqrt{x}（{e}^{x-1}）′}{{e}^{2x-2}}$=$\frac{1-2x}{\sqrt{x}•{e}^{x-1}}$，
當(dāng)0＜x＜$\frac{1}{2}$時，f′（x）＞0，當(dāng)x＞$\frac{1}{2}$時，f′（x）＜0，
故當(dāng)x=$\frac{1}{2}$時，函數(shù)f（x）有極大值f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{\sqrt{2}}{{e}^{-\frac{1}{2}}}$=$\sqrt{2e}$；
當(dāng)x＜0時，f′（x）=$\frac{-1+2x}{\sqrt{-x}•{e}^{x-1}}$＜0，f（x）為減函數(shù)，
作出函數(shù)f（x）對應(yīng)的圖象如圖：
∴函數(shù)f（x）在（0，+∞）上有一個最大值為f（$\frac{1}{2}$）=$\sqrt{2e}$．
設(shè)t=f（x），則關(guān)于x的方程f²（x）-mf（x）+m-1=0，
即為t²-mt+m-1=0，解得t=1，或t=m-1．
當(dāng)t=1時，方程t=f（x）有3個不等實根，
要使關(guān)于x的方程f²（x）-mf（x）+m-1=0恰好有3個不相等的實數(shù)根，
即有t=m-1=1，即m=2或無實數(shù)根．
當(dāng)m-1＜0，即m＜1時，t=m-1無實數(shù)根．
則m的取值范圍是（-∞，1）∪{2}．
故答案為：（-∞，1）∪{2}．

點評 本題考查了根的存在性及根的個數(shù)的判斷，考查了利用函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，考查了學(xué)生分析問題和解決問題的能力，利用換元法轉(zhuǎn)化為一元二次方程，是解決本題的關(guān)鍵．