Question

16．已知命題p：-x²+8x+20≥0；命題q：x²+2x+1-4m²≤0．
（1）當m∈R時，解不等式x²+2x+1-4m²≤0；
（2）當m＞0時，若￢p是￢q的必要不充分條件，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）x²+2x+1-4m²=（x+1-2m）（x+1+2m）=0的兩根為-1+2m，-1-2m，分-1+2m＞-1-2m，1+2m=-1-2m=-1，1+2m＜-1-2m三種情況求解不等式
（2）求出p：-2≤x≤10，q：-1-2m≤x≤-1+2m，由?p是?q的必要不充分條件，得q是p的必要不充分條件．即$\left\{{\begin{array}{l}{-1-2m≤-2}\\{-1+2m≥10}\\{m＞0}\end{array}}\right.$，且等號不能同時取，
解得實數(shù)m的取值范圍，

解答 解：（1）x²+2x+1-4m²=（x+1-2m）（x+1+2m）=0，
所以x²+2x+1-4m²=0對應的兩根為-1+2m，-1-2m，
當m＞0時，-1+2m＞-1-2m，不等式的解集為{x|-1-2m≤x≤-1+2m}，
當m=0時，-1+2m=-1-2m=-1，不等式的解集為{x|x=-1}，
當m＜0時，-1+2m＜-1-2m，不等式的解集為{x|-1+2m≤x≤-1-2m}；
（2）由-x²+8x+20≥0可得，（x-10）（x+2）≤0，
所以-2≤x≤10，即p：-2≤x≤10
由（1）知，當m＞0時，不等式的解集為{x|-1-2m≤x≤-1+2m}，
所以q：-1-2m≤x≤-1+2m，
∵?p是?q的必要不充分條件，∴q是p的必要不充分條件．
即$\left\{{\begin{array}{l}{-1-2m≤-2}\\{-1+2m≥10}\\{m＞0}\end{array}}\right.$，且等號不能同時取，
解得$m≥\frac{11}{2}$．故實數(shù)m的取值范圍為$m≥\frac{11}{2}$．

點評 本題考查了命題真假的應用，屬于基礎題．