Question

8．已知函數f（x）=x|x-a|的定義域為D，其中a為常數；
（1）若D=R，且f（x）是奇函數，求a的值；
（2）若a≤-1，D=[-1，0]，函數f（x）的最小值是g（a），求g（a）的最大值；
（3）若a＞0，在[0，3]上存在n個點x_i（i=1，2，…，n，n≥3），滿足x₁=0，x_n=3，x₁＜x₂＜…＜x_n，使|f（x₁）-f（x₂）|+|f（x₂）-f（x₃）|+…+|f（x_n-1）-f（x_n）|=$\frac{13}{2}$，求實數a的取值．

Answer 1

分析 （1）由奇函數的定義可得f（-1）+f（1）=0，解得a=0，即可得到f（x）的解析式；
（2）化簡f（x），對a討論，①a≤-2時，②-2＜a≤-1時，由二次函數對稱軸，結合單調性即可得到最值；
（3）a＞0，函數f（x）=x|x-a|的圖象可由f（x）=x|x|的圖象右移a個單位得到．判斷f（x）=x|x|在R上遞增，可得函數f（x）=x|x-a|在[0，3]遞增，去掉絕對值，化簡整理計算即可得到a的取值．

解答 解：（1）∵f（x）是R上的奇函數，
∴f（-1）+f（1）=-|-1-a|+|1-a|=0，
∴|a-1|=|a+1|，解得a=0．
∴f（x）=x|x|，經過驗證滿足題意；
（2）a≤-1，D=[-1，0]，函數f（x）=x（x-a）=$（x-\frac{a}{2}）^{2}$-$\frac{{a}^{2}}{4}$，
①a≤-2時，對稱軸x=$\frac{a}{2}$≤-1，函數f（x）在D上單調遞增，
∴f（x）的最小值是f（-1）=-（-1-a）=a+1，
則g（a）≤-2+1=-1，
故g（a）的最大值為-1；
②-2＜a≤-1時，對稱軸x=$\frac{a}{2}$∈$（-1，-\frac{1}{2}]$，函數f（x）在（$\frac{a}{2}$，-$\frac{1}{2}$）上單調遞增，
在[-1，$\frac{a}{2}$]單調遞減；
∴f（x）的最小值是f（$\frac{a}{2}$）=-$\frac{{a}^{2}}{4}$，
則g（a）≤-$\frac{1}{4}$，
故g（a）的最大值為-$\frac{1}{4}$；
（3）a＞0，函數f（x）=x|x-a|的圖象可由f（x）=x|x|的圖象右移a個單位得到．
而f（x）=x|x|=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}，x≥0}\\{-{x}^{2}，x＜0}\end{array}\right.$，x＞0時遞增，x＜0時遞增，且f（x）的圖象連續(xù)，
則函數f（x）=x|x-a|在[0，3]遞增，
即有|f（x₁）-f（x₂）|+|f（x₂）-f（x₃）|+…+|f（x_n-1）-f（x_n）|=$\frac{13}{2}$，
化為-（f（x₁）-f（x₂）+f（x₂）-f（x₃）+…+f（x_n-1）-f（x_n））=$\frac{13}{2}$，
即-（f（0）-f（3））=$\frac{13}{2}$，
則3|3-a|-0=$\frac{13}{2}$，
解得a=$\frac{5}{6}$或$\frac{31}{6}$．
則實數a的取值為{$\frac{5}{6}$，$\frac{31}{6}$}．

點評 本題考查了函數的單調性和奇偶性、函數求最值，注意運用討論思想，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．