Question

2．如圖所示，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，已知E為棱CC₁上的動(dòng)點(diǎn)．
（1）求證：A₁E⊥BD；
（2）是否存在這樣的E點(diǎn)，使得平面A₁BD⊥平面EBD？若存在，請(qǐng)找出這樣的E點(diǎn)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）連接AC，設(shè)AC∩DB=O，連接A₁O，OE．證明A₁A⊥BD，BD⊥AC，推出BD⊥平面ACEA₁，然后證明A₁E⊥BD．
（2）當(dāng)E是CC₁的中點(diǎn)時(shí)，平面A₁BD⊥平面EBD．說(shuō)明∠A₁OE為二面角A₁-BD-E的平面角．設(shè)棱長(zhǎng)為2a，推出∠A₁OE=90°．即可證明平面A₁BD⊥平面EBD．

解答 解：連接AC，設(shè)AC∩DB=O，連接A₁O，OE．
（1）∵A₁A⊥底面ABCD，∴A₁A⊥BD，又BD⊥AC，
∴BD⊥平面ACEA₁，∵A₁E?平面ACEA₁，
∴A₁E⊥BD．
（2）證明：當(dāng)E是CC₁的中點(diǎn)時(shí)，平面A₁BD⊥平面EBD．
證明如下：
∵A₁B=A₁D，EB=ED，O為BD中點(diǎn)，∴A₁O⊥BD，EO⊥BD
∴∠A₁OE為二面角A₁-BD-E的平面角．
在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，設(shè)棱長(zhǎng)為2a，
∵E為棱CC₁的中點(diǎn)，由平面幾何知識(shí)，EO=$\sqrt{3}$a，A₁O=$\sqrt{6}$a，A₁E=3a，
∴A₁E²=A₁O²+EO²，即∠A₁OE=90°．
∴平面A₁BD⊥平面EBD．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線(xiàn)與直線(xiàn)垂直，直線(xiàn)與平面垂直的判定定理以及性質(zhì)定理的應(yīng)用，二面角的平面角的求法，平面與平面垂直的證明方法，考查空間想象能力以及計(jì)算能力．