Question

13．如圖是一幾何體的直觀圖、主觀圖、俯視圖、左視圖．
（1）求該幾何體的體積V；
（2）證明：BD∥平面PEC；
（3）求平面PEC與平面PDA所成的二面角（銳角）的余弦值．

Answer 1

分析 （1）判斷幾何體底面ABCD是邊長為4的正方形，四邊形APEB是直角梯形，求出底面面積以及高，轉(zhuǎn)化求解幾何體的體積即可．
（2）取PC的中點(diǎn)F，連接BD與AC交于點(diǎn)M，連接FM，EF．證明EF∥BM，推出BD∥平面PEC．
（3）以BC，BA，BE為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，平面PDA的一個法向量．平面PEC的法向量，利用空間向量的數(shù)量積求解即可．

解答 （1）解：由三視圖可知，底面ABCD是邊長為4的正方形，四邊形APEB是直角梯形，PA⊥平面ABCD，CB⊥平面APEB，PA=AB=2EB=4，CB=4．連接AC，∴$V={V}_{P-ACD}+{V}_{C-PAEB}=\frac{1}{3}{S}_{△ACD}•PA+\frac{1}{3}{S}_{APEB}•CB$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}A{D}^{2}•PA+\frac{1}{3}×\frac{1}{2}（EB+PA）•AB•CB=\frac{80}{3}$．
（2）證明：如圖，取PC的中點(diǎn)F，連接BD與AC交于點(diǎn)M，連接FM，EF．
∴$FM∥PA，F(xiàn)M=\frac{1}{2}PA$，∴FM∥EB，F(xiàn)M=EB，
故四邊形BMFE為平行四邊形，∴EF∥BM，
又EF?平面PEC，BD?平面PEC，∴BD∥平面PEC．

（3）解：如圖，分別以BC，BA，BE為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則C（4，0，0），E（0，0，2），A（0，4，0），p（0，4，4），
∴$\overrightarrow{BA}=（0，4，0）$為平面PDA的一個法向量．
設(shè)平面PEC的法向量為$\overrightarrow n=（x，y，z）$，則$\left\{{\begin{array}{l}{\overrightarrow n•\overrightarrow{CE}=0}\\{\overrightarrow n•\overrightarrow{CP}=0}\end{array}}\right.∴\left\{{\begin{array}{l}{z=2x}\\{-x+y+z=0}\end{array}}\right.$，
令x=1，∴$\overrightarrow n=（1，-1，2）$，∴$cos＜\overrightarrow{BA}，\overrightarrow n＞=\frac{{\overrightarrow{BA}•\overrightarrow n}}{{|{\overrightarrow{BA}}||{\overrightarrow n}|}}=-\frac{{\sqrt{6}}}{6}$，
∴平面PEC與平面PDA所成的二面角（銳角）的余弦值為$\frac{{\sqrt{6}}}{6}$．

點(diǎn)評 本題考查二面角的平面角的求法，直線與平面平行以及幾何體的體積的求法，考查空間想象能力以及計算能力．