Question

一條雙曲線的左、右頂點分別為A₁，A₂，點M（x₁，y₁），N（x₁，-y₁）是雙曲線上不同的兩個動點．
（1）求直線A₁M與A₂N交點的軌跡E的方程式；
（2）設(shè)直線l與曲線E相交于不同的兩點A，B，已知點A的坐標(biāo)為（-2，0），若點Q（0，y）在線段AB的垂直平分線上，且．求y的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由，，兩式相乘得-，而點M（x₁，y₁）在雙曲線上，所以，由此能求出軌跡E的方程．
（2）由（1）可知A（-2，0）．設(shè)B點的坐標(biāo)為（x₁，y₁），直線l的斜率為k，則直線l的方程為y=k（x+2），于是A，B兩點的坐標(biāo)滿足方程組，整理，得（1+4k²）x²+16k²x+（16k²-4）=0，由，得，從而，由此入手能夠求出y的值．
解答：解：（1）由，，…（2分）
兩式相乘得-，而點M（x₁，y₁）在雙曲線上，所以…（2分）
所以軌跡E的方程為．…．（1分）
（2）解：由（1）可知A（-2，0）．設(shè)B點的坐標(biāo)為（x₁，y₁），直線l的斜率為k，則直線l的方程為y=k（x+2），
于是A，B兩點的坐標(biāo)滿足方程組，
由方程組消去y并整理，得（1-2k²）x²-8k²x-（8k²+4）=0，…（1分）
由，得，從而，
設(shè)線段AB是中點為M，則M的坐標(biāo)為（-，），…（1分）
①當(dāng)k=0時，點B的坐標(biāo)為（2，0）．線段AB的垂直平分線為y軸，于是
，由=4，得．…（1分）
②當(dāng)k≠0時，線段AB的垂直平分線方程為，
令x=0，解得，由，

=+（+）
==4，…（2分）
整理得7k²=2，故k=±，∴．
綜上或．…（2分）
點評：本題考查雙曲線方程和橢圓方程的求法，考查雙曲線方程和橢圓方程的簡單性質(zhì)以直線和圓錐曲線的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．綜合性強，難度大，有一定的探索性，對數(shù)學(xué)思維能力要求較高，是高考的重點．解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．