中心在原點，焦點在x軸上的橢圓C的焦距為2，兩準線間的距離為10.設(shè)A(5,0)，B(1，0).

(1)求橢圓C的方程；

(2)過點A作直線與橢圓C只有一個公共點D，求過B，D兩點，且以AD為切線的圓的方程；(6分)

(3)過點A作直線l交橢圓C于P，Q兩點，過點P作x軸的垂線交橢圓C于另一點S,若=t（t＞1），求證：=t.

解:(1)設(shè)橢圓的標準方程為+=1(a＞b＞0),依題意得得∴b2=4.

∴橢圓的標準方程為+=1.

(2)設(shè)過點A的直線方程為y=k(x-5)，代入橢圓方程+=1得

(4+5k2)x2-50k2x+125k2-20=0.(*)依題意得Δ=0，即(50k2)2-4(4+5k2)(125k2-20)=0,

得k=±，且方程的根為x=1,∴D(1,±).

當點D位于x軸上方時，過點D與AD垂直的直線與x軸交于點E，

直線DE的方程是y-=(x-1)，∴E(,0).

所求圓即為以線段DE為直徑的圓，故方程為(x)2+(y)=.

同理可得：當點D位于x軸下方時，圓的方程為(x)2+(y+)=.

(3)設(shè)P(x1,y1)，Q(x2,y2),由=t得代入

∴(**)要證=t，即證

由方程組(**)可知方程組①成立,②顯然成立.∴=t.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓w的中心在原點，焦點在x軸上，長軸長為4，離心率為
6
3
，△ABC的頂點A，B在橢圓w上，C在直線l：y=x+2上，且AB∥l．
（1）求橢圓w的方程；
（2）當AB邊通過坐標原點O時，求AB的長及△ABC的面積；
（3）當∠ABC=90°，且斜邊AC的長最大時，求AB所在直線的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，函數(shù)y=f（x）的圖象是中心在原點、焦點在x軸上的橢圓的兩段弧，則不等式f（x）＜f（-x）+x的解集為（　　）
A、{x|-
2
＜x＜0或
2
＜x≤2}
B、{x|-2≤x＜-
2
或
2
＜x≤2}
C、{x|-2≤x＜-
2
2
或
2
2
＜x≤2}
D、{x|-
2
＜x＜
2
，且x≠0}

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，函數(shù)y=f（x）的圖象是中心在原點，焦點在x軸上的橢圓的兩段弧，則不等式f（x）＜f（-x）+x的解集為（　�。�
A、{
2
2
＜x≤2或
2
2
＜x≤2}
B、{x|-2≤x＜
2
或
2
＜x≤2}
C、{x|-
2
＜x＜0或
2
＜x≤2}
D、{x|-
2
＜x＜
2
，且x≠0}

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科目：高中數(shù)學 來源：2010-2011年山西省孝義市高二第二次月考考試數(shù)學文卷 題型：解答題

（12分）

    已知橢圓中心在原點，焦點在x軸上，長軸長等于12，離心率為.

（Ⅰ）求橢圓的標準方程；

（Ⅱ）過橢圓左頂點作直線l垂直于x軸，若動點M到橢圓右焦點的距離比它到直線l的距離小4，求點M的軌跡方程.

 

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科目：高中數(shù)學 來源：東城區(qū)模擬 題型：解答題

已知橢圓w的中心在原點，焦點在x軸上，長軸長為4，離心率為
6
3
，△ABC的頂點A，B在橢圓w上，C在直線l：y=x+2上，且AB∥l．
（1）求橢圓w的方程；
（2）當AB邊通過坐標原點O時，求AB的長及△ABC的面積；
（3）當∠ABC=90°，且斜邊AC的長最大時，求AB所在直線的方程．

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