Question

15．某公司決定采用增加廣告投入和技術(shù)改造投入兩項(xiàng)措施來(lái)獲得更大的收益．通過(guò)市場(chǎng)的預(yù)測(cè)發(fā)現(xiàn)，當(dāng)對(duì)兩項(xiàng)投入都不大于3百萬(wàn)元時(shí)，每投入x百萬(wàn)元廣告費(fèi)，增加的銷(xiāo)售額可近似的用函數(shù)${y_1}=-2{x^2}+14x$（百萬(wàn)元）來(lái)計(jì)算；每投入x百萬(wàn)元技術(shù)改造費(fèi)用，增加的銷(xiāo)售額可近似的用函數(shù)${y_2}=-\frac{1}{3}{x^3}+2{x^2}+5x$（百萬(wàn)元）來(lái)計(jì)算．如果現(xiàn)在該公司共投入3百萬(wàn)元，分別用于廣告投入和技術(shù)改造投入，那么預(yù)測(cè)該公司可增加的最大收益為$21+2\sqrt{3}$百萬(wàn)元．（注：收益=銷(xiāo)售額-投入）

Answer 1

分析 先計(jì)算投入帶來(lái)的銷(xiāo)售額增加值，再利用導(dǎo)數(shù)法，即可確定函數(shù)的最值．

解答 解：設(shè)3百萬(wàn)元中技術(shù)改造投入為x（百萬(wàn)元），廣告費(fèi)投入為3-x（百萬(wàn)元），則廣告收入帶來(lái)的銷(xiāo)售額增加值為-2（3-x）²+14（3-x）（百萬(wàn)元），技術(shù)改造投入帶來(lái)的銷(xiāo)售額增加值為-$\frac{1}{3}$x³+2x²+5x（百萬(wàn)元），
所以，投入帶來(lái)的銷(xiāo)售額增加值F（x）=-2（3-x）²+14（3-x）-$\frac{1}{3}$x³+2x²+5x．
整理上式得F（x）=-$\frac{1}{3}$x³+3x+24，
因?yàn)镕′（x）=-x²+3，令F′（x）=0，解得x=$\sqrt{3}$或x=-$\sqrt{3}$（舍去），
當(dāng)x∈[0，$\sqrt{3}$），F(xiàn)′（x）＞0，當(dāng)x∈（$\sqrt{3}$，3]時(shí)，F(xiàn)′（x）＜0，
所以，x=$\sqrt{3}$時(shí)，F(xiàn)（x）取得最大值$21+2\sqrt{3}$百萬(wàn)元，
故答案為$21+2\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)模型的構(gòu)建，考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，正確確定函數(shù)解析式是關(guān)鍵．