【題目】如圖，直三棱柱ABC﹣A1B1C1 ， 底面△ABC中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA1=2，M，N分別是A1B1、A1A的中點(diǎn)．

（1）求 的長(zhǎng)；
（2）求cos（ ）的值；
（3）求證A1B⊥C1M．

【答案】
（1）解：如圖，以C為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz．

依題意得B（0，1，0），N（1，0，1），

∴


（2）解：依題意得A1（1，0，2），B（0，1，0），C（0，0，0），B1（0，1，2）．

∴ ， ， ， ，

∴cos＜


（3）證明：依題意得C1（0，0，2），M =（﹣1，1，﹣2）， = ，

∴ = ，

∴


【解析】由直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，由于BCA=90°，我們可以以C為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz．（1）求出B點(diǎn)N點(diǎn)坐標(biāo)，代入空間兩點(diǎn)距離公式，即可得到答案；（2）分別求出向量 ， 的坐標(biāo)，然后代入兩個(gè)向量夾角余弦公式，即可得到 ， ＞的值；（3）我們求出向量 ， 的坐標(biāo)，然后代入向量數(shù)量積公式，判定兩個(gè)向量的數(shù)量積是否為0，若成立，則表明A1B⊥C1M
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的異面直線及其所成的角，需要了解異面直線所成角的求法：1、平移法：在異面直線中的一條直線中選擇一特殊點(diǎn)，作另一條的平行線；2、補(bǔ)形法：把空間圖形補(bǔ)成熟悉的或完整的幾何體，如正方體、平行六面體、長(zhǎng)方體等，其目的在于容易發(fā)現(xiàn)兩條異面直線間的關(guān)系才能得出正確答案．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）=1﹣ 在R上是奇函數(shù)．
（1）求a；
（2）對(duì)x∈（0，1]，不等式sf（x）≥2x﹣1恒成立，求實(shí)數(shù)s的取值范圍；
（3）令g（x）= ，若關(guān)于x的方程g（2x）﹣mg（x+1）=0有唯一實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】下列選項(xiàng)中，說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)是（ ）

①命題“”的否定為“”；

②命題“在中， ，則”的逆否命題為真命題；

③設(shè)是公比為的等比數(shù)列，則“”是“為遞增數(shù)列”的充分必要條件；

④若統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的方差為，則的方差為；

⑤若兩個(gè)隨機(jī)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，則相關(guān)系數(shù)絕對(duì)值越接近1.

A. 1個(gè) B. 2個(gè) C. 3個(gè) D. 4個(gè)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】甲、乙、丙、丁四個(gè)物體同時(shí)從某一點(diǎn)出發(fā)向同一個(gè)方向運(yùn)動(dòng)，其路程fi（x）（i=1，2，3，4）關(guān)于時(shí)間x（x≥0）的函數(shù)關(guān)系式分別為f1（x）=2x﹣1，f2（x）=x3 ， f3（x）=x，f4（x）=log2（x+1），有以下結(jié)論： ①當(dāng)x＞1時(shí)，甲走在最前面；
②當(dāng)x＞1時(shí)，乙走在最前面；
③當(dāng)0＜x＜1時(shí)，丁走在最前面，當(dāng)x＞1時(shí)，丁走在最前面；
④丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面；
⑤如果它們一直運(yùn)動(dòng)下去，最終走在最前面的是甲．
其中，正確結(jié)論的序號(hào)為（把正確結(jié)論的序號(hào)都填上，多填或少填均不得分）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】下列命題：
①命題“x∈R，x2+x+1=0”的否定是“x∈R，x2+x+1≠0”；
②若A={x|x＞0}，B={x|x≤﹣1}，則A∩（RB）=A；
③函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）是偶函數(shù)的充要條件是φ=kπ+ （k∈Z）；
④若非零向量 ， 滿(mǎn)足 =λ ， =λ （λ∈R），則λ=1．
其中正確命題的序號(hào)有

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，已知圓心坐標(biāo)為（ ，1）的圓M與x軸及直線y= x分別相切于A，B兩點(diǎn)，另一圓N與圓M外切、且與x軸及直線y= x分別相切于C、D兩點(diǎn)．
（1）求圓M和圓N的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)B作直線MN的平行線l，求直線l被圓N截得的弦的長(zhǎng)度．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知直線l與圓C：x2+y2+2x﹣4y+a=0相交于A，B兩點(diǎn)，弦AB的中點(diǎn)為M（0，1）．
（1）求實(shí)數(shù)a的取值范圍以及直線l的方程；
（2）若圓C上存在動(dòng)點(diǎn)N使CN=2MN成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知直線l過(guò)點(diǎn)M（1，2），且直線l與x軸正半軸和y軸的正半軸交點(diǎn)分別是A、B，（如圖，注意直線l與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)都在正半軸上）

（1）若三角形AOB的面積是4，求直線l的方程．
（2）求過(guò)點(diǎn)N（0，1）且與直線l垂直的直線方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某企業(yè)為了對(duì)新研發(fā)的一批產(chǎn)品進(jìn)行合理定價(jià)，將產(chǎn)品按事先擬定的價(jià)格進(jìn)行試銷(xiāo)，得到一組銷(xiāo)售數(shù)據(jù)，如表所示：

已知

（1）求的值

（2）已知變量具有線性相關(guān)性，求產(chǎn)品銷(xiāo)量關(guān)于試銷(xiāo)單價(jià)的線性回歸方程 可供選擇的數(shù)據(jù)

（3）用表示（2）中所求的線性回歸方程得到的與對(duì)應(yīng)的產(chǎn)品銷(xiāo)量的估計(jì)值。當(dāng)銷(xiāo)售數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的殘差的絕對(duì)值時(shí)，則將銷(xiāo)售數(shù)據(jù)稱(chēng)為一個(gè)“好數(shù)據(jù)”。試求這6組銷(xiāo)售數(shù)據(jù)中的 “好數(shù)據(jù)”。

參考數(shù)據(jù)：線性回歸方程中的最小二乘估計(jì)分別是

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