Question

18．已知邊長為a的菱形ABCD中，∠ABC=60°，將該菱形沿對角線AC折起，使BD=a，則三棱錐D-ABC的體積為（　�。�

• A． $\frac{a^3}{6}$
• B． $\frac{a^3}{12}$
• C． $\frac{{\sqrt{3}}}{12}{a^3}$
• D． $\frac{\sqrt{2}}{12}{a}^{3}$

Answer 1

分析 由題意可得：三棱錐B-ACD是一個正四面體．如圖所示，進而算出高BO，即可計算出體積．

解答 解：由題意可得：三棱錐B-ACD是一個棱長為a的正四面體．如圖所示：
過B點作BO⊥底面ACD，則點O是底面的中心，可知AO=$\frac{2}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}a=\frac{\sqrt{3}}{3}a$．
在Rt△ABO中，由勾股定理得BO=$\sqrt{A{B}^{2}-A{O}^{2}}$=$\sqrt{{a}^{2}-（\frac{\sqrt{3}}{3}a）^{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}a$．
∴V=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×a×a×sin60°×\frac{\sqrt{6}}{3}a$=$\frac{\sqrt{2}}{12}{a}^{3}$．
故選：D．

點評 本題考查三棱錐的體積的求法，考查三棱錐、折疊等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力、空間想象能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．