【題目】已知非空集合是由一些函數(shù)組成,滿足如下性質(zhì):對任意,均存在反函數(shù),且;對任意,方程均有解;對任意、,若函數(shù)為定義在上的一次函數(shù),則.

1)若,,均在集合中,求證:函數(shù);

2)若函數(shù))在集合中,求實數(shù)的取值范圍;

3)若集合中的函數(shù)均為定義在上的一次函數(shù),求證:存在一個實數(shù),使得對一切,均有.

【答案】1)見詳解;(2;(3)見詳解;

【解析】

1)由,根據(jù)性質(zhì)①可得,且存在,使得

,由,且為一次函數(shù),根據(jù)性質(zhì)即可證明.

2)由性質(zhì)②,方程,即上有解,可得,

變形,.的關(guān)系分類討論,利用基本不等式的性質(zhì)即可求解.

3)任取,由性質(zhì)①,不妨設(shè)

(若,則),

由性質(zhì)函數(shù),

由性質(zhì)①:

由性質(zhì)

由性質(zhì)②方程:,可得,即,即可得證.

1)由,根據(jù)性質(zhì)①可得,且存在,使得

,由,且為一次函數(shù),

根據(jù)性質(zhì)可得:.

2)由性質(zhì)②,方程,即上有解,

,

,時,,且,

此時沒有反函數(shù),即不滿足性質(zhì)①.

,時,函數(shù)上單調(diào)遞增,此時有反函數(shù),

即滿足性質(zhì)①.

綜上:.

3)任取,,由性質(zhì)①,不妨設(shè),

(若,則,),

由性質(zhì)函數(shù),

由性質(zhì)①:,

由性質(zhì)

由性質(zhì)②方程:,

,即

,可得,,

,可得,,

由此可知:對于任意兩個函數(shù),

存在相同的滿足:

存在一個實數(shù),使得對一切,均有.

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