Question

5．已知函數(shù)f（x）=x-alnx（a∈R）．
（1）若a=2，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若對(duì)任意x∈（1，+∞），f（x）＞0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）分離參數(shù)a，令$h（x）=\frac{x}{lnx}，則{h^'}（x）=\frac{lnx-1}{{{{（lnx）}^2}}}$，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出h（x）的最小值，求出a的范圍即可．

解答 解：（1）當(dāng)a=2時(shí)，${f^'}（x）=1-\frac{2}{x}=\frac{x-2}{x}，令{f^'}（x）＞0$，得x＞2，
所以函數(shù)f（x）得單調(diào)遞增區(qū)間為（2，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（0，2）…（4分）
（2）對(duì)于$x∈（1，+∞）時(shí)f（x）＞0恒成立?a＜\frac{x}{lnx}對(duì)于x∈（1，+∞）恒成立$$?a＜{（\frac{x}{lnx}）_{min}}$…（6分）
令$h（x）=\frac{x}{lnx}，則{h^'}（x）=\frac{lnx-1}{{{{（lnx）}^2}}}$，由h'（x）＞0⇒x＞e，
所以h（x）的單調(diào)增區(qū)間為（e，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（1，e）…（10分）
∴h（x）_min=h（e）=e，∴a＜e，a的取值范圍為（-∞，e）…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．