【題目】如圖,在四棱錐中,四邊形是平行四邊形, 且, , 平面.
(1)為棱的中點(diǎn),求證: 平面;
(2)求證: 平面平面;
(3)若, ,求四棱錐的體積.
【答案】(1)證明見解析;(2)證明見解析;(3).
【解析】試題分析:(1)由四邊形是平行四邊形,可得為中點(diǎn),又為中點(diǎn),由三角形中位數(shù)定理可得,再由線面平行的判定可得平面;(2)由平面,得,再由,可得平面,進(jìn)一步得到平面平面;(3)由已知求出四邊形的面積,先求出高,再由棱錐的體積公式得答案.
試題解析:(1)因?yàn)辄c(diǎn)為棱的中點(diǎn),點(diǎn)為的中點(diǎn),
所以 ,又因?yàn)?/span>平面,
所以平面.
(2)證明:因?yàn)?/span>平面,又平面
所以,又因?yàn)?/span>,
所以平面,又因?yàn)?/span>平面.
所以平面平面.
(3)因?yàn)?/span>,又,
所以四邊形的面積為4,
因?yàn)?/span>,點(diǎn)為的中點(diǎn),
所以.
所以四棱錐的體積為: .
【方法點(diǎn)晴】本題主要考查線面平行的判定定理、面面垂直的判定定理以及棱錐的體積公式,屬于難題.證明線面平行的常用方法:①利用線面平行的判定定理,使用這個(gè)定理的關(guān)鍵是設(shè)法在平面內(nèi)找到一條與已知直線平行的直線,可利用幾何體的特征,合理利用中位線定理、線面平行的性質(zhì)或者構(gòu)造平行四邊形、尋找比例式證明兩直線平行.②利用面面平行的性質(zhì),即兩平面平行,在其中一平面內(nèi)的直線平行于另一平面. 本題(1)是就是利用方法①證明的.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)=
(1)寫出該函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若函數(shù)=-m恰有3個(gè)不同零點(diǎn),求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(3)若≤n2-2bn+1對(duì)所有x∈[-1,1],b∈[-1,1]恒成立,求實(shí)數(shù)n的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】調(diào)查表明,市民對(duì)城市的居住滿意度與該城市環(huán)境質(zhì)量、城市建設(shè)、物價(jià)與收入的滿意度有極強(qiáng)的相關(guān)性,現(xiàn)將這三項(xiàng)的滿意度指標(biāo)分別記為x、y、z,并對(duì)它們進(jìn)行量化:0表示不滿意,1表示基本滿意,2表示滿意,再用綜合指標(biāo)ω=x+y+z的值評(píng)定居民對(duì)城市的居住滿意度等級(jí):若ω≥4,則居住滿意度為一級(jí);若2≤ω≤3,則居住滿意度為二級(jí);若0≤ω≤1,則居住滿意度為三級(jí),為了解某城市居民對(duì)該城市的居住滿意度,研究人員從此城市居民中隨機(jī)抽取10人進(jìn)行調(diào)查,得到如下結(jié)果:
人員編號(hào) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
(x,y,z) | (1,1,2) | (2,1,1) | (2,2,2) | (0,1,1) | (1,2,1) |
人員編號(hào) | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
(x,y,z) | (1,2,2) | (1,1,1) | (1,2,2) | (1,0,0) | (1,1,1) |
(1)在這10名被調(diào)查者中任取兩人,求這兩人的居住滿意度指標(biāo)z相同的概率;
(2)從居住滿意度為一級(jí)的被調(diào)查者中隨機(jī)抽取一人,其綜合指標(biāo)為m,從居住滿意度不是一級(jí)的被調(diào)查者中任取一人,其綜合指標(biāo)為n,記隨機(jī)變量ξ=m﹣n,求隨機(jī)變量ξ的分布列及其數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)若函數(shù)的值域?yàn)?/span>[0,+∞),求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(2)若關(guān)于x的不等式F(x)>af(x)+12恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知:如圖,梯形ABCD中,AD∥BC,∠C= ,以AB為直徑的⊙O恰與CD相切于點(diǎn)E,⊙O交BC于F,連結(jié)EF.
(1)求證:AD+BC=AB;
(2)求證:EF是AD與AB的等比中項(xiàng).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知橢圓: 的離心率,短軸右端點(diǎn)為, 為線段的中點(diǎn).
(Ⅰ) 求橢圓的方程;
(Ⅱ)過點(diǎn)任作一條直線與橢圓相交于兩點(diǎn),試探究在軸上是否存在定點(diǎn),使得,若存在,求出點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=(x+1)2ex , 設(shè)k∈[﹣3,﹣1],對(duì)任意x1 , x2∈[k,k+2],則|f(x1)﹣f(x2)|的最大值為( )
A.4e﹣3
B.4e
C.4e+e﹣3
D.4e+1
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】有兩直線和,當(dāng)a在區(qū)間內(nèi)變化時(shí),求直線與兩坐標(biāo)軸圍成的四邊形面積的最小值.
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