Question

20．已知函數(shù)f（x）=xlnx，g（x）=$\frac{x}{{e}^{x}}$．
（1）記F（x）=f（x）-g（x），求證：F（x）=0在區(qū)間（1，+∞）內(nèi)有且僅有一個實根；
（2）用min{a，b}表示a，b中的最小值，設(shè)函數(shù)m（x）=min{f（x），g（x）}，若方程m（x）=c在（1，+∞）有兩個不相等的實根x₁，x₂（x₁＜x₂），記F（x）=0在（1，+∞）內(nèi)的實根x₀．
求證：$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$＞x₀．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，得到函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點存在定理證出結(jié)論即可；
（2）問題轉(zhuǎn)化為證明x₁+x₂＞2x₀，根據(jù)m（x）在（x₀，+∞）上遞減，即證明m（m₂）＜m（2x₀-x₁），根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可．

解答 證明：（1）F（x）=xlnx-$\frac{x}{{e}^{x}}$，定義域是（0，+∞），
F′（x）=1+lnx+$\frac{x-1}{{e}^{x}}$，
x＞1時，F(xiàn)′（x）＞0，∴F（x）在（1，+∞）遞增，
又F（1）=-$\frac{1}{e}$＜0，F(xiàn)（2）=2ln2-$\frac{2}{{e}^{2}}$＞0，
而F（x）在（1，+∞）上連續(xù)，
根據(jù)零點存在定理可得：F（x）=0在區(qū)間（1，+∞）有且只有1個實根；
（2）0＜x≤1時，f（x）=xlnx≤0，而g（x）=$\frac{x}{{e}^{x}}$＞0，
故此時有f（x）＜g（x），
由（1）得：F（x）在（1，+∞）遞增，又x₀為F（x）=0在（1，+∞）內(nèi)的實根，
∴F（x₀）=f（x₀）-g（x₀）=0，故1＜x＜x₀時，即f（x）＜g（x），
x＞x₀時，F(xiàn)（x）＞0即f（x）＞g（x），
∴m（x）=$\left\{\begin{array}{l}{xlnx，0＜x{≤x}_{0}}\\{\frac{x}{{e}^{x}}，x{＞x}_{0}}\end{array}\right.$，
1＜x＜x₀時，m（x）=xlnx，m′（x）=1+lnx＞0，
∴m（x）在（1，x₀）遞增，
x＞x₀時，m（x）=$\frac{x}{{e}^{x}}$，m′（x）=$\frac{1-x}{{e}^{x}}$＜0，
∴m（x）在（x₀，+∞）遞減，
若方程m（x）=c在（1，+∞）有兩個不相等的實根x₁，x₂（x₁＜x₂），
則滿足x₁∈（1，x₀），x₂∈（x₀，+∞），
要證明$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$＞x₀，即證明x₁+x₂＞2x₀，即證明x₂＞2x₀-x₁＞x₀，
而m（x）在（x₀，+∞）上遞減，即證明m（m₂）＜m（2x₀-x₁），
∵m（x₁）=m（x₂），
即證明：m（x₁）＜m（2x₀-x₁），即證明：lnx₁＜$\frac{{2x}_{0}{-x}_{1}}{{e}^{{2x}_{0}{-x}_{1}}}$，x₁∈（1，x₀），
記h（x）=xlnx-$\frac{{2x}_{0}-x}{{e}^{{2x}_{0}-x}}$，x∈（1，x₀），
由F（x₀）=0得：x₀lnx₀=$\frac{{x}_{0}}{{e}^{{x}_{0}}}$，∴h（x₀）=0，
h′（x）=1+lnx+$\frac{1}{{e}^{{2x}_{0}-x}}$-$\frac{{2x}_{0}-x}{{e}^{{2}_{0}-x}}$，
g（x）=$\frac{x}{{e}^{x}}$，g′（x）=$\frac{1-x}{{e}^{x}}$，
0＜x＜1時，g′（x）＞0，x＞1時，g′（x）＜0，
故g（x）≤g（1）=$\frac{1}{e}$，
∴x＞0時，0＜g（x）≤$\frac{1}{e}$，
∵2x₀-x＞0，∴0＜$\frac{{2x}_{0}-x}{{e}^{{2}_{0}-x}}$≤$\frac{1}{e}$，
∴h′（x）=1+lnx+$\frac{1}{{e}^{{2x}_{0}-x}}$-$\frac{{2x}_{0}-x}{{e}^{{2}_{0}-x}}$＞1-$\frac{1}{e}$＞0，
∴h（x）遞增，從而1＜x₁＜x₀時，h（x）＜h（x₀）=0，
即lnx₁＜$\frac{{2x}_{0}{-x}_{1}}{{e}^{{2x}_{0}{-x}_{1}}}$，
故$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$＞x₀得證．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查函數(shù)的零點存在定理，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，不等式的證明，是一道綜合題．