【題目】已知函數(shù),其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù),.
(1)若恰有兩個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(2)若,且,求證:.
【答案】(1);(2)證明見解析.
【解析】
(1)分,利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù),
(2)由(1)可知時(shí),存在,易得.
令,..利用導(dǎo)數(shù)可證明.
(1)當(dāng)時(shí),函數(shù),只有一個(gè)零點(diǎn).
當(dāng)時(shí),.
①當(dāng)時(shí),令,得,令,得,
∴在遞增,在遞減.
又,,
取,且,則.
故恰有兩個(gè)零點(diǎn).
②當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),,故需時(shí),有兩個(gè)零點(diǎn).
令,得,或,
若,則,故當(dāng)時(shí),,在遞增,不存在兩個(gè)零點(diǎn).
若,則,故當(dāng)時(shí),,在遞減,,
時(shí),,單調(diào)遞增,故不存在兩個(gè)零點(diǎn).
綜上所述,實(shí)數(shù)的取值范圍為.
(2)由(1)可知時(shí),存在,且,,,
又在遞增,
∴.
令,.
.
∴在遞增.即,
.
∵,,又在遞增,
∴,即.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在“挑戰(zhàn)不可能”的電視節(jié)目上,甲、乙、丙三個(gè)人組成的解密團(tuán)隊(duì)參加一項(xiàng)解密挑戰(zhàn)活動(dòng),規(guī)則是由密碼專家給出題目,然后由個(gè)人依次出場解密,每人限定時(shí)間是分鐘內(nèi),否則派下一個(gè)人.個(gè)人中只要有一人解密正確,則認(rèn)為該團(tuán)隊(duì)挑戰(zhàn)成功,否則挑戰(zhàn)失敗.根據(jù)甲以往解密測試情況,抽取了甲次的測試記錄,繪制了如下的頻率分布直方圖.
(1)若甲解密成功所需時(shí)間的中位數(shù)為,求、的值,并求出甲在分鐘內(nèi)解密成功的頻率;
(2)在“挑戰(zhàn)不可能”節(jié)目上由于來自各方及自身的心理壓力,甲,乙,丙解密成功的概率分別為,其中表示第個(gè)出場選手解密成功的概率,并且定義為甲抽樣中解密成功的頻率代替,各人是否解密成功相互獨(dú)立.
①求該團(tuán)隊(duì)挑戰(zhàn)成功的概率;
②該團(tuán)隊(duì)以從小到大的順序按排甲、乙、丙三個(gè)人上場解密,求團(tuán)隊(duì)挑戰(zhàn)成功所需派出的人員數(shù)目的分布列與數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),(其中),.
(1)若對(duì)定義域內(nèi)的任意實(shí)數(shù)x恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(2)若有兩個(gè)極值點(diǎn),,且,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的左焦點(diǎn)為,點(diǎn)為橢圓的左、右頂點(diǎn),點(diǎn)是橢圓上一點(diǎn),且直線的傾斜角為,,已知橢圓的離心率為.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)為橢圓上異于的兩點(diǎn),若直線的斜率等于直線斜率的倍,求四邊形面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】CPI是居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)(consumer price index)的簡稱.居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)是一個(gè)反映居民家庭一般所購買的消費(fèi)品價(jià)格水平變動(dòng)情況的宏觀經(jīng)濟(jì)指標(biāo).如圖是根據(jù)國家統(tǒng)計(jì)局發(fā)布的2017年6月—2018年6月我國CPI漲跌幅數(shù)據(jù)繪制的折線圖(注:2018年6月與2017年6月相比較,叫同比;2018年6月與2018年5月相比較,叫環(huán)比),根據(jù)該折線圖,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是( )
A.2017年8月與同年12月相比較,8月環(huán)比更大
B.2018年1月至6月各月與2017年同期相比較,CPI只漲不跌
C.2018年1月至2018年6月CPI有漲有跌
D.2018年3月以來,CPI在緩慢增長
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【題目】為建設(shè)美麗新農(nóng)村,某村對(duì)本村布局重新進(jìn)行了規(guī)劃,其平面規(guī)劃圖如圖所示,其中平行四邊形區(qū)域?yàn)樯顓^(qū),為橫穿村莊的一條道路,區(qū)域?yàn)樾蓍e公園,,,的外接圓直徑為.
(1)求道路的長;
(2)該村準(zhǔn)備沿休閑公園的邊界修建柵欄,以防村中的家畜破壞公園中的綠化,試求柵欄總長的最大值.
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【題目】關(guān)于函數(shù),下列判斷正確的是( )
A. 有最大值和最小值
B. 的圖象的對(duì)稱中心為()
C. 在上存在單調(diào)遞減區(qū)間
D. 的圖象可由的圖象向左平移個(gè)單位而得
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)n為正整數(shù),稱n×n的方格表Tn的網(wǎng)格線的交點(diǎn)(共(n+1)2個(gè)交點(diǎn))為格點(diǎn).現(xiàn)將數(shù)1,2,……,(n+1)2分配給Tn的所有格點(diǎn),使不同的格點(diǎn)分到不同的數(shù).稱Tn的一個(gè)1×1格子S為“好方格”,如果從2S的某個(gè)頂點(diǎn)起按逆時(shí)針方向讀出的4個(gè)頂點(diǎn)上的數(shù)依次遞增(如圖是將數(shù)1,2,…,9分配給T2的格點(diǎn)的一種方式,其中B、C是好方格,而A、D不是好方格)設(shè)Tn中好方格個(gè)數(shù)的最大值為f(n).
(1)求f(2)的值;
(2)求f(n)關(guān)于正整數(shù)n的表達(dá)式.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知是定義在[-1,1]上的奇函數(shù)且,若ab∈[-1,1],a+b≠0,有成立.
(1)判斷函數(shù)在[-1,1]上是增函數(shù)還是減函數(shù),并加以證明.
(2)解不等式.
(3)若對(duì)所有, 恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
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