Question

（本題滿分14分）已知是函數(shù)的一個極值點.
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）若直線與函數(shù)的圖象有3個交點，求的取值范圍.

Answer 1

（Ⅰ）
（Ⅱ）的單調(diào)增區(qū)間是，的單調(diào)減區(qū)間是
（Ⅲ）。

本試題主要是考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運用。利用導(dǎo)數(shù)求解參數(shù)的值，以及函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，和函數(shù)與方程的關(guān)系的綜合運用。
（1）由于是函數(shù)的一個極值點.，則說明在該點的導(dǎo)數(shù)值為零，得到參數(shù)a的值。
（2）然后利用第一問的結(jié)論，得到導(dǎo)數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的符號與單調(diào)性的關(guān)系，求解單調(diào)區(qū)間。
（3）分離函數(shù)的思想，研究兩個圖像的交點個數(shù)，即為方程解的問題的運用。
（Ⅰ）因為
所以
因此
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，


當(dāng)時，
當(dāng)時，
所以的單調(diào)增區(qū)間是
的單調(diào)減區(qū)間是
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，在內(nèi)單調(diào)增加，在內(nèi)單調(diào)減少，在上單調(diào)增加，且當(dāng)或時，
所以的極大值為，極小值為
因此

所以在的三個單調(diào)區(qū)間直線有的圖象各有一個交點，當(dāng)且僅當(dāng)
因此，的取值范圍為。