Question

9．已知函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）=（x+1）e^x則對(duì)任意的m∈R，函數(shù)F（x）=f（f（x））-m的零點(diǎn)個(gè)數(shù)至多有（　　）

• A． 3個(gè)
• B． 4個(gè)
• C． 6個(gè)
• D． 9個(gè)

Answer 1

分析 當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）=（x+1）e^x，求出f′（x），判斷x∈（-∞，-2），函數(shù)是減函數(shù)，x∈（-2，0）函數(shù)是增函數(shù)，f（-2）=$-\frac{1}{{e}^{2}}$，f（-1）=0，且x→0時(shí)，f（x）→1，利用函數(shù)是奇函數(shù)，f（0）=0，畫出函數(shù)的圖象利用換元法，轉(zhuǎn)化求解函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即可．

解答 解：當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）=（x+1）e^x，可得f′（x）=（x+2）e^x，可知x∈（-∞，-2），函數(shù)是減函數(shù)，x∈（-2，0）函數(shù)是增函數(shù)，
f（-2）=$-\frac{1}{{e}^{2}}$，f（-1）=0，且x→0時(shí)，f（x）→1，又f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，f（0）=0，而x∈（-∞，-1）時(shí)，f（x）＜0，
所以函數(shù)的圖象如圖：令t=f（x）則f（t）=m，
由圖象可知：當(dāng)t∈（-1，1）時(shí)，方程f（x）=t至多3個(gè)根，當(dāng)t∉（-1，1）時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，
而對(duì)于任意m∈R，方程f（t）=m至多有一個(gè)根，t∈（-1，1），
從而函數(shù)F（x）=f（f（x））-m的零點(diǎn)個(gè)數(shù)至多有3個(gè)．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用，考查數(shù)形結(jié)合以及分類討論思想的應(yīng)用．