Question

某分公司經(jīng)銷某種品牌產(chǎn)品，每件產(chǎn)品的成本為30元，并且每件產(chǎn)品須向總公司繳納a元（a為常數(shù)，2≤a≤5）的管理費，根據(jù)多年的統(tǒng)計經(jīng)驗，預計當每件產(chǎn)品的售價為x元時，產(chǎn)品一年的銷售量為（e為自然對數(shù)的底數(shù)）萬件，已知每件產(chǎn)品的售價為40元時，該產(chǎn)品一年的銷售量為500萬件．經(jīng)物價部門核定每件產(chǎn)品的售價x最低不低于35元，最高不超過41元．
（Ⅰ）求分公司經(jīng)營該產(chǎn)品一年的利潤L（x）萬元與每件產(chǎn)品的售價x元的函數(shù)關系式；
（Ⅱ）當每件產(chǎn)品的售價為多少元時，該產(chǎn)品一年的利潤L（x）最大，并求出L（x）的最大值．
參考公式：為常數(shù)．

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）每件產(chǎn)品的售價為（31+a）元時，該產(chǎn)品一年的利潤最大，最大利潤為萬元．

試題分析：（Ⅰ）求分公司經(jīng)營該產(chǎn)品一年的利潤L（x）萬元與每件產(chǎn)品的售價x元的函數(shù)關系式，由該產(chǎn)品一年的銷售量為，將每件產(chǎn)品的售價為40元時，該產(chǎn)品一年的銷售量為500萬件，代入可得k值，進而根據(jù)利潤=單件利潤×銷售量得到該產(chǎn)品一年的利潤L（x）萬元與每件產(chǎn)品的售價x元的函數(shù)關系式；（Ⅱ）當每件產(chǎn)品的售價為多少元時，該產(chǎn)品一年的利潤L（x）最大，由（Ⅰ）中所得函數(shù)的解析式，求導后分析函數(shù)的單調(diào)性，進而分析出該產(chǎn)品一年的利潤L（x）的最大值．
試題解析：（Ⅰ）由題意，該產(chǎn)品一年的銷售量為，將代入得，故該產(chǎn)品一年的銷售量為 2分
故， ６分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，，
當時，，當且僅當時取等號，故在上單調(diào)遞減，故的最大值為 ９分
當時， ?，?，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故的最大值為 ^a１２分綜上所述，當時，每件產(chǎn)品的售價為35元時，該產(chǎn)品一年的利潤最大，最大利潤為萬元；當時，每件產(chǎn)品的售價為（31+a）元時，該產(chǎn)品一年的利潤最大，最大利潤為萬元； １４分