Question

7．已知函數(shù)f（x）=mlnx+$\frac{1}{x}$+2x，x∈[2，e]．
（Ⅰ）若m=-1，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若對任意的m∈[0，1]，關(guān)于x的不等式f（x）≤（n+2）x恒成立，求實數(shù)n的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（Ⅱ）問題轉(zhuǎn)化為mlnx+$\frac{1}{x}$-nx≤0，令g（m）=mlnx+$\frac{1}{x}$-nx，由已知得只需g（1）≤0，得到n≥$\frac{lnx}{x}$+$\frac{1}{{x}^{2}}$，令h（x）=$\frac{lnx}{x}$+$\frac{1}{{x}^{2}}$，（x∈[2，e]），根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出n的范圍即可．

解答 解：（Ⅰ）由題意得：f（x）=-lnx+$\frac{1}{x}$+2x，
f′（x）=$\frac{（2x+1）（x-1）}{{x}^{2}}$＞0在[2，e]恒成立，
故函數(shù)f（x）在[2，e]上遞增，無遞減區(qū)間；
（Ⅱ）若f（x）≤（n+2）x，則mlnx+$\frac{1}{x}$+2x≤（n+2）x，則mlnx+$\frac{1}{x}$-nx≤0，
令g（m）=mlnx+$\frac{1}{x}$-nx，由已知得只需g（1）≤0即lnx+$\frac{1}{x}$-nx≤0，
若對任意x∈[2，e]，lnx+$\frac{1}{x}$-nx≤0恒成立，
即n≥$\frac{lnx}{x}$+$\frac{1}{{x}^{2}}$，
令h（x）=$\frac{lnx}{x}$+$\frac{1}{{x}^{2}}$，（x∈[2，e]），則h′（x）=$\frac{x-xlnx-2}{{x}^{3}}$，
設(shè)m（x）=x-xlnx-2，x∈[2，e]，
則m′（x）=1-（1+lnx）=-lnx＜0，
故m（x）在[2，e]遞減，m（x）≤m（2）=-2ln2＜0，即h′（x）＜0，
∴h（x）在[2，e]遞減，∴h（x）_max=h（2）=$\frac{ln2}{2}$+$\frac{1}{4}$，
即n≥$\frac{ln2}{2}$+$\frac{1}{4}$，
故實數(shù)n的范圍是[$\frac{ln2}{2}$+$\frac{1}{4}$，+∞）．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)恒成立問題，考查轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．