Question

【題目】已知三棱錐如圖的展開圖如圖2,其中四邊形ABCD為邊長(zhǎng)等于的正方形,和均為正三角形．

(1)證明：平面平面ABC；

(2)若M是PC的中點(diǎn),點(diǎn)N在線段PA上,且滿足,求直線MN與平面PAB所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】(1)詳見解析；(2).

【解析】

利用等腰三角形的三線合一的性質(zhì)、勾股定理的逆定理,利用線面垂直來(lái)證面面垂直；

建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法來(lái)求直線與平面所成的角.

解：取AC的中點(diǎn)O,連接OP,OB,則有

且O為AC的中點(diǎn),；同理,．

平面POB，則有為平面的平面角，

又在中，,,則有,

平面平面ABC．

由可知，平面ABC，則有，，又，所以，建立如右圖所示的空間直角坐標(biāo)系．

則有,,0，,1，,0，,0，,

是PC的中點(diǎn),,又,,

設(shè)平面PAB的一個(gè)法向量為,則有,,

設(shè)直線MN與平面PAB所成角為,．

故直線MN與平面PAB所成角的正弦值為．