Question

8．已知圓C：x²+y²-4x+3=0，
（1）求過(guò)M（3，2）點(diǎn)的圓的切線方程；
（2）直線l過(guò)點(diǎn)$N（{\frac{3}{2}，\frac{1}{2}}）$且被圓C截得的弦長(zhǎng)最短時(shí)，求直線l的方程；
（3）過(guò)點(diǎn)（1，0）的直線m與圓C交于不同的兩點(diǎn)A、B，線段AB的中點(diǎn)P的軌跡為C₁，直線$y=k（x-\frac{5}{2}）$與曲線C₁只有一個(gè)交點(diǎn)，求k的值．

Answer 1

分析 （1）由圓的方程求出圓心和半徑，易得點(diǎn)A在圓外，當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)，切線方程為x=3．當(dāng)切線的斜率存在時(shí)，設(shè)切線的斜率為k，寫(xiě)出切線方程，利用圓心到直線的距離等于半徑，解出k，可得切線方程；
（2）當(dāng)直線l⊥CN時(shí)，弦長(zhǎng)最短，可求直線l的方程；
（3）求出軌跡C₁，直利用線$y=k（x-\frac{5}{2}）$與曲線C₁只有一個(gè)交點(diǎn)，求k的值．

解答 解：（1）圓C：x²+y²-4x+3=0，即 （x-2）²+y²=1，表示以（2，0）為圓心，半徑等于1的圓．
當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)，切線方程為x=3符合題意．
當(dāng)切線的斜率存在時(shí)，設(shè)切線斜率為k，則切線方程為 y-2=k（x-3），即kx-y-3k+2=0，
所以，圓心到切線的距離等于半徑，即$\frac{|-k+2|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=1，解得k=$\frac{3}{4}$，此時(shí)，切線為3x-4y-1=0．
綜上可得，圓的切線方程為x=3或3x-4y-1=0…（3分）
（2）當(dāng)直線l⊥CN時(shí)，弦長(zhǎng)最短，此時(shí)直線的方程為x-y-1=0…（6分）
（3）設(shè)點(diǎn)P（x，y），∵點(diǎn)P為線段AB的中點(diǎn)，曲線C是圓心為C（2，0），半徑r=1的圓，∴CP⊥AP，$\overrightarrow{CP}•\overrightarrow{AP}=0$，∴化簡(jiǎn)得${（{x-\frac{3}{2}}）^2}+{y^2}=\frac{1}{4}$…（9分）
由于點(diǎn)P在圓內(nèi)，去除點(diǎn)（1，0），所以C₁：${（{x-\frac{3}{2}}）^2}+{y^2}=\frac{1}{4}$（x≠1）…（10分）
因?yàn)橹本�$y=k（x-\frac{5}{2}）$與曲線C₁只有一個(gè)交點(diǎn)，所以圓心到直線的距離d=$\frac{|-k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\frac{1}{2}$或k=0，
所以$k=±\frac{{\sqrt{3}}}{3}或0$…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查求圓的切線方程的方法，考查軌跡方程，考查點(diǎn)到直線距離公式的運(yùn)用，屬于中檔題