Question

20．設(shè)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且對任意x∈R，都有f（x+2）=-f（x），當(dāng)0≤x≤1時，f（x）=x²．
（I）當(dāng)-2≤x≤0時，求f（x）的解析式；
（II）設(shè)向量$\overrightarrow a=（2sinθ，1），\overrightarrow b=（9，16cosθ）$，若$\overrightarrow a，\overrightarrow b$同向，求$f（\frac{2017}{sinθ+cosθ}）$的值；
（III）定義：一個函數(shù)在某區(qū)間上的最大值減去最小值的差稱為此函數(shù)在此區(qū)間上的“界高”．
求f（x）在區(qū)間[t，t+1]（-2≤t≤0）上的“界高”h（t）的解析式；在上述區(qū)間變化的過程中，“界高”h（t）的某個值h₀共出現(xiàn)了四次，求h₀的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）定義在R上的奇函數(shù)，可得f（-x）=-f（x），f（x+2）=-f（x），當(dāng)0≤x≤1時，f（x）=x²．可求當(dāng)-2≤x≤0時，求f（x）的解析式
（II）根據(jù)$\overrightarrow a，\overrightarrow b$同向，建立關(guān)系，利用向量的乘積的運算法則化簡即可求解．
（III）根據(jù)題意，證明其對稱性，根據(jù)函數(shù)解析式畫出圖形，數(shù)形結(jié)合法，可求h₀的取值范圍．

解答 解：（ I）設(shè)-2≤x≤-1，則0≤x+2≤1，
∴f（x+2）=（x+2）²=-f（x），
∴f（x）=-（x+2）²；
設(shè)-1≤x≤0，則0≤-x≤1，
∴f（-x）=（-x）²=-f（x），
∴f（x）=-x²．
綜上：當(dāng)-2≤x≤0時，$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{-{{（x+2）}^2}，（-2≤x≤-1）}\\{-{x^2}，（-1≤x≤0）}\end{array}}\right.$．
（ II）由題：$32sinθcosθ=9⇒sinθcosθ=\frac{9}{32}$，∴${（sinθ+cosθ）^2}=1+2sinθcosθ=\frac{25}{16}$，
所以$sinθ+cosθ=±\frac{5}{4}$．∵sinθcosθ＞0，∴θ可能在一、三象限，
若θ在三象限，則$\overrightarrow a，\overrightarrow b$反向，與題意矛盾；若θ在一象限，則$\overrightarrow a，\overrightarrow b$同向．綜上，θ只能在一象限．
∴$sinθ+cosθ=\frac{5}{4}$，∴$f（\frac{2017}{sinθ+cosθ}）=f（2017×\frac{4}{5}）=f（2015×\frac{4}{5}+2×\frac{4}{5}）=f（403×4+\frac{8}{5}）$，（※）
由f（x+2）=-f（x）得f（x+4）=-f（x+2）=-[-f（x）]=f（x），
所以（※）式=$f（\frac{8}{5}）=-f（\frac{8}{5}-2）=-f（-\frac{2}{5}）=f（\frac{2}{5}）={（\frac{2}{5}）^2}=\frac{4}{25}$（或0.16）
（ III）先說明對稱性（以下方法均可）：
法一：由（ II）：f（x+4）=f（x），再由已知：f（x）是奇函數(shù)且f（x+2）=-f（x），得f（x-2）=-f（x）=f（-x），令x為-x，得f（-2-x）=f（x），
∴f（x）的圖象關(guān)x=-1對稱．
法二：由（ I）：x∈[-1，0]時，f（-2-x）=-（-2-x）²=-（x+2）²=f（x）；x∈[-2，-1]時，f（-2-x）=-（-2-x+2）²=-x²=f（x），
綜上：f（x）在[-1，0]和[-2，-1]上的圖象關(guān)于x=-1對稱．
法三：由畫出圖象說明f（x）在[-2，-1]和[-1，0]上的圖象關(guān)于x=-1對稱也可．

設(shè)f（x）在區(qū)間[t，t+1]上的最大值為M（t），最小值為m（t），則h（t）=M（t）-m（t）．顯然：區(qū)間[t，t+1]的中點為$t+\frac{1}{2}$．所以，如圖：
（ i）當(dāng)t≥-2且$t+\frac{1}{2}≤-1$，即$-2≤t≤-\frac{3}{2}$時，M（t）=-（t+2）²，m（t）=-1，∴h（t）=M（t）-m（t）=-（t+2）²+1；
（ ii）當(dāng)t+1≤0且$t+\frac{1}{2}≥-1$，即$-\frac{3}{2}≤t≤-1$時，M（t）=-（t+1）²，m（t）=-1，∴h（t）=M（t）-m（t）=-（t+1）²+1；
（ iii）當(dāng)-1≤t≤0時，M（t）=（t+1）²，m（t）=-t²，∴h（t）=M（t）-m（t）=（t+1）²+t²=2t²+2t+1．
綜上：$h（t）=\left\{{\begin{array}{l}{-{{（t+2）}^2}+1，（-2≤t≤-\frac{3}{2}）}\\ \begin{array}{l}-{（t+1）^2}+1，（-\frac{3}{2}≤t≤-1）\\ 2{t^2}+2t+1，（-1≤t≤0）\end{array}\end{array}}\right.$．
根據(jù)解析式分段畫出圖象，并求出每段最值（如圖），由圖象可得：$\frac{3}{4}＜{h_0}＜1$．

點評 本題考查了函數(shù)解析式的求法，分段函數(shù)最值討論，新定義的理解，周期，對稱性的判斷，屬于綜合題．難度大．