Question

6．已知函數(shù)f（x）=xlnx-k（x-1）
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；并證明lnx+$\frac{e}{x}$≥2（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）恒成立；
（2）若函數(shù)f（x）的一個(gè)零點(diǎn)為x₁（x₁＞1），f'（x）的一個(gè)零點(diǎn)為x₀，是否存在實(shí)數(shù)k，使$\frac{x_1}{x_0}$=k，若存在，求出所有滿足條件的k的值；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，令k=2，則f（x）=xlnx-2（x-1），得到f（x）≥f（e），證出結(jié)論即可；
（2）假設(shè)存在k，使得$\frac{{x}_{1}}{{x}_{0}}$=k，（k＞0）成立，得到m（k）=e^k-1lnk-e^k-1+1，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，設(shè)F（k）=lnk+$\frac{1}{k}$-1，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證出矛盾即可．

解答 解：（1）∵f′（x）=lnx+1-k，
x∈（0，e^k-1）時(shí)，f′（x）＜0，此時(shí)h（x）遞減，
x∈（e^k-1，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，此時(shí)h（x）遞增，
令k=2，則f（x）=xlnx-2（x-1），
故x=e時(shí)，f（x）有最小值是f（e），
故f（x）=xlnx-2（x-1）≥f（e）=2-e，
即lnx+$\frac{e}{x}$≥2恒成立；
（2）由題意得：x₁lnx₁-k（x₁-1）=0，
lnx₀+1-k=0，
假設(shè)存在k，使得$\frac{{x}_{1}}{{x}_{0}}$=k，（k＞0）成立，
消元得：e^k-1lnk-e^k-1+1=0，
設(shè)m（k）=e^k-1lnk-e^k-1+1，
則m′（k）=e^k-1（lnk+$\frac{1}{k}$-1），
設(shè)F（k）=lnk+$\frac{1}{k}$-1，
則F′（x）=$\frac{1}{k}$-$\frac{1}{{k}^{2}}$，
k∈（0，1）時(shí)，F(xiàn)′（x）＜0，即此時(shí)函數(shù)F（k）遞減，
k∈（1，+∞）時(shí)，F(xiàn)′（x）＞0，此時(shí)函數(shù)F（k）遞增，
∴F（k）≥F（1）=0，
∴m′（k）＞0，
故函數(shù)m（k）在（0，+∞）遞增，
∵m（1）=0，∴k=1，
但k=1時(shí)，x₁=e^k1k=1，與已知x₁＞1矛盾，
故k不存在．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的構(gòu)造，考查函數(shù)的最值，考查等價(jià)轉(zhuǎn)化問(wèn)題的能力，屬于難題．