【題目】過直線x=﹣2上的動點P作拋物線y2=4x的兩條切線PA,PB,其中A,B為切點.
(1)若切線PA,PB的斜率分別為k1 , k2 , 求證:k1k2為定值;
(2)求證:直線AB恒過定點.
【答案】
(1)證明:不妨設(shè) ,B (t1>0,t2>0),P(﹣2,m).
由y2=4x,當(dāng)y>0時, , ,
∴ .
同理k2= .
由 = ,得 =0.
同理 ﹣mt2﹣2=0.
∴t1,t2是方程t2﹣mt﹣2=0的兩個實數(shù)根,
∴t1t2=﹣2,
∴k1k2= =﹣ 為定值
(2)證明:直線AB的方程為y﹣2t1= .
即 +2t1﹣ ,
即 ,由于t1t2=﹣2,
∴直線方程化為 ,
∴直線AB恒過定點(2,0)
【解析】(1)不妨設(shè) ,B (t1>0,t2>0),P(﹣2,m).由y2=4x,當(dāng)y>0時, , ,可得 .同理k2= .利用斜率計算公式可得k1= ,得 =0.同理 ﹣mt2﹣2=0.t1 , t2是方程t2﹣mt﹣2=0的兩個實數(shù)根,即可得出k1k2= 為定值.(2)直線AB的方程為y﹣2t1= .化為 ,由于t1t2=﹣2,可得直線方程 .
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=3|x|+log3|x|.
(1)判斷函數(shù)的奇偶性,并加以證明;
(2)說明函數(shù)f(x)在(0,+∞)上的單調(diào)性,并利用單調(diào)性定義證明;
(3)若 f(2a)<28,求實數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè) .
(1)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)在銳角△ABC中,A、B、C的對邊分別為a,b,c,若 ,求△ABC面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(本小題滿分10分)
已知函數(shù)f(x)=(x2+bx+b) (b∈R).
(1)當(dāng)b=4時,求f(x)的極值;
(2)若f(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增,求b的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)g(x)=(a+1)x﹣2+1(a>0)的圖象恒過定點A,且點A又在函數(shù) 的圖象上.
(1)求實數(shù)a的值;
(2)解不等式f(x)< ;
(3)函數(shù)h(x)=|g(x+2)﹣2|的圖象與直線y=2b有兩個不同的交點時,求b的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列說法中,正確的是
①任取x>0,均有3x>2x .
②當(dāng)a>0,且a≠1時,有a3>a2 .
③y=( )﹣x是增函數(shù).
④y=2|x|的最小值為1.
⑤在同一坐標(biāo)系中,y=2x與y=2﹣x的圖象關(guān)于y軸對稱.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,曲線y=x2﹣6x+5與坐標(biāo)軸的交點都在圓C上.
(Ⅰ)求圓C的方程;
(Ⅱ)若圓C與直線x﹣y+a=0交于A,B兩點,且CA⊥CB求a的值.
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