Question

20．設(shè)常數(shù)θ∈（0，$\frac{π}{2}$），函數(shù)f（x）=2cos²（θ-$\frac{3}{2}$x）-1，且對(duì)任意實(shí)數(shù)x，f（x）=f（$\frac{π}{3}$-x）恒成立．
（1）求θ值；
（2）試把f（x）表示成關(guān)于sinx的關(guān)系式；
（3）若x∈（0，π）時(shí)，不等式f（x）＞2a•f（$\frac{2x}{3}$）-13f（$\frac{x}{3}$）恒成立，求實(shí)數(shù)a的范圍．

Answer 1

分析 （1）利用倍角公式降冪，結(jié)合f（x）=f（$\frac{π}{3}$-x）恒成立求得cos2θ=0，從而求得θ值；
（2）把θ值代入即可求得f（x）關(guān)于sinx的關(guān)系式；
（3）把f（x）＞2a•f（$\frac{2x}{3}$）-13f（$\frac{x}{3}$）轉(zhuǎn)化為cos²x-acosx+3＞0．令cosx=t（-1＜t＜1），則t²-at+3＞0在t∈（-1，1）上恒成立，再轉(zhuǎn)化為關(guān)于a的不等式組求解．

解答 解：（1）f（x）=2cos²（θ-$\frac{3}{2}$x）-1=cos（2θ-3x），
則f（$\frac{π}{3}-x$）=cos（2θ-π+3x）=-cos（2θ+3x）．
由f（x）=f（$\frac{π}{3}$-x），得cos（2θ-3x）=-cos（2θ+3x），
即cos（2θ-3x）+cos（2θ+3x）=0，
∴2cos2θcos3x=0，則cos2θ=0，
∵θ∈（0，$\frac{π}{2}$），∴θ=$\frac{π}{4}$；
（2）f（x）=2cos²（θ-$\frac{3}{2}$x）-1=cos（2θ-3x）=cos（$\frac{π}{2}-3x$）=sin3x=3sinx-4sin³x；
（3）由f（x）＞2a•f（$\frac{2x}{3}$）-13f（$\frac{x}{3}$），得sin3x＞2asin2x-13sinx，
∴3sinx-4sin³x＞4asinxcosx-13sinx，即cos²x-acosx+3＞0．
令cosx=t（-1＜t＜1），則t²-at+3＞0在t∈（-1，1）上恒成立．
∴△=a²-12＜0或$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}-12≥0}\\{\frac{a}{2}≤-1}\\{a+4≥0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}-12≥0}\\{\frac{a}{2}≥1}\\{4-a≥0}\end{array}\right.$．
解得：-4≤a≤4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查恒成立問題，考查三角函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，訓(xùn)練了恒成立問題的求解方法，考查利用“三個(gè)二次”結(jié)合求解字母的取值范圍，屬中檔題．