Question

12．如圖，直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，四邊形ABCD是菱形，AB=AA₁=2，∠ABC=120°，E，F(xiàn)分別為BB₁、AD₁的中點．
（1）求證；平面D₁AE⊥平面ADD₁A₁；
（2）求三棱錐D-D₁AE的體積．

Answer 1

分析 （1）取AD的中點M，連接FM．BM，則BMFE是平行四邊形，證明BM⊥平面ADD₁A₁，可得EF⊥平面ADD₁A₁，即可證明結(jié)論；
（2）利用等體積轉(zhuǎn)化，求三棱錐D-D₁AE的體積．

解答 （1）證明：取AD的中點M，連接FM．BM，則BMFE是平行四邊形，
∴BM∥EF，
∵四邊形ABCD是菱形，∠ABC=120°，
∴BM⊥AD，
∵直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁，
∴BM⊥平面ADD₁A₁，
∴EF⊥平面ADD₁A₁，
∵EF?平面D₁AE
∴平面D₁AE⊥平面ADD₁A₁；
（2）解：由（1）知，EF=BM=$\sqrt{3}$，
∴三棱錐D-D₁AE的體積V=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×2×\sqrt{3}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查線面垂直，面面垂直的證明，考查三棱錐體積的計算，屬于中檔題．