Question

15．設(shè)$f（x）=（\sqrt{3}sin\frac{x}{2}+cos\frac{x}{2}）sin（\frac{x}{2}+\frac{π}{2}）-\frac{1}{2}$．
（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知$f（A+\frac{π}{3}）=-\frac{1}{2}$，$a=\sqrt{3}$，求△ABC面積的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用二倍角以及輔助角公式基本公式將函數(shù)化為y=Asin（ωx+φ）的形式，將內(nèi)層函數(shù)看作整體，放到正弦函數(shù)的增區(qū)間上，解不等式得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）根據(jù)$f（A+\frac{π}{3}）=-\frac{1}{2}$，求解sinA和cosA的值，用余弦定理找出bc的關(guān)系，利用基本不等式求解△ABC面積的最大值．

解答 解：（Ⅰ）$f（x）=（\sqrt{3}sin\frac{x}{2}+cos\frac{x}{2}）cos\frac{x}{2}-\frac{1}{2}$
化簡可得f（x）=$\sqrt{3}sin\frac{x}{2}cos\frac{x}{2}+{cos^2}\frac{x}{2}-\frac{1}{2}$
=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}sinx+\frac{1}{2}cosx$
=$sin（x+\frac{π}{6}）$．
根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)可知：$-\frac{π}{2}+2kπ≤x+\frac{π}{6}≤\frac{π}{2}+2kπ$，k∈Z，是單調(diào)遞增，
∴得$-\frac{2π}{3}+2kπ≤x≤\frac{π}{3}+2kπ$，k∈Z，
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為$[{-\frac{2π}{3}+2kπ，\frac{π}{3}+2kπ}]$，k∈Z．
（Ⅱ）由$f（A+\frac{π}{3}）=-\frac{1}{2}$，
得$sin（A+\frac{π}{2}）=cosA=-\frac{1}{2}$，
∴$sinA=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
由余弦定理，a²=b²+c²-2bccosA，
得3=b²+c²+bc≥2bc+bc=3bc，當(dāng)且僅當(dāng)b=c=1時，等號成立，
∴bc≤1，
∴${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}bcsinA≤\frac{{\sqrt{3}}}{4}$，
即△ABC面積的最大值為$\frac{{\sqrt{3}}}{4}$．

點評 本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進行化簡是解決本題的關(guān)鍵．同時也考查了余弦定理和基本不等式的運用．屬于中檔題．