Question

4．定義：如果函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[a，b]上存在x₁，x₂（a＜x₁＜x₂＜b），滿足f′（x₁）=$\frac{f（b）-f（a）}{b-a}$，f′（x₂）=$\frac{f（b）-f（a）}{b-a}$，則稱函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[a，b]上的一個(gè)雙中值函數(shù)，已知函數(shù)f（x）=x³-x²是區(qū)間[0，a]上的雙中值函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是$（{\frac{1}{2}，1}）$．

Answer 1

分析 根據(jù)題目給出的定義得到${f}^{'}（{x}_{1}）={f}^{'}（{x}_{2}）=\frac{f（a）-f（0）}{a}={a}^{2}-a$，即方程3x²-2x=a²-a在區(qū)間（0，a）有兩個(gè)解，利用二次函數(shù)的性質(zhì)能求出a的取值范圍．

解答 解：∵f（x）=x³-x²，∴f′（x）=3x²-2x，
∵函數(shù)f（x）=x³-x²是區(qū)間[0，a]上的雙中值函數(shù)，
∴區(qū)間[0，a]上存在x₁，x₂（0＜x₁＜x₂＜a），
滿足${f}^{'}（{x}_{1}）={f}^{'}（{x}_{2}）=\frac{f（a）-f（0）}{a}={a}^{2}-a$，
∴方程3x²-2x=a²-a在區(qū)間（0，a）有兩個(gè)不相等的解，
令g（x）=3x²-2x-a²+a，（0＜x＜a），
則$\left\{\begin{array}{l}{△=4-12（-{a}^{2}+a）＞0}\\{g（0）=-{a}^{2}+a＞0}\\{g（a）=2{a}^{2}-a＞0}\end{array}\right.$，解得$\frac{1}{2}＜a＜1$，
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是（$\frac{1}{2}，1$）．
故答案為：（$\frac{1}{2}，1$）．

點(diǎn)評 本題考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，考查導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．